Номер 238, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 238, страница 84.

Условие.

238 Решить неравенство:

1) $11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$;

2) $0,3^{\sqrt{30-x}} > 0,3^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано неравенство $11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$.
Так как основание степени $a = 11$, а $11 > 1$, то показательная функция $y=11^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому исходное неравенство равносильно неравенству для показателей степеней:
$\sqrt{x+6} > x$.
Это иррациональное неравенство. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
Теперь решим неравенство $\sqrt{x+6} > x$. Решение зависит от знака правой части неравенства, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Правая часть отрицательна, то есть $x < 0$.
В этом случае левая часть неравенства ($\sqrt{x+6}$) всегда неотрицательна (по определению арифметического корня), а правая часть ($x$) — отрицательна. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного, поэтому неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию этого случая и ОДЗ. Составим систему:
$\begin{cases} x \ge -6 \\ x < 0 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in [-6; 0)$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна, то есть $x \ge 0$.
В этом случае обе части неравенства $\sqrt{x+6} > x$ неотрицательны, поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, сохраняя знак неравенства:
$(\sqrt{x+6})^2 > x^2$
$x+6 > x^2$
$0 > x^2 - x - 6$
$x^2 - x - 6 < 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-2; 3)$.
Теперь необходимо учесть условие этого случая ($x \ge 0$). Найдем пересечение решений:
$\begin{cases} -2 < x < 3 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in [0; 3)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях:
$[-6; 0) \cup [0; 3) = [-6; 3)$.
Ответ: $x \in [-6; 3)$.

2) Дано неравенство $0,3^{\sqrt{30-x}} > 0,3^x$.
Так как основание степени $a = 0,3$, а $0 < 0,3 < 1$, то показательная функция $y=0,3^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$\sqrt{30-x} < x$.
Это иррациональное неравенство. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$30-x \ge 0 \implies x \le 30$.
В неравенстве $\sqrt{30-x} < x$ левая часть по определению неотрицательна. Чтобы неравенство имело решения, правая часть ($x$) должна быть строго больше левой, а значит, $x$ должен быть положительным: $x > 0$. Если $x \le 0$, то неравенство "неотрицательное число < неположительное число" не имеет решений.
При условии $x>0$ обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{30-x})^2 < x^2$
$30 - x < x^2$
$0 < x^2 + x - 30$
$x^2 + x - 30 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 30 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2 + x - 30$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами интервала между корнями: $x < -6$ или $x > 5$.
Теперь соберем все полученные условия в одну систему, чтобы найти их пересечение:
$\begin{cases} x \le 30 & \text{(ОДЗ)} \\ x > 0 & \text{(условие существования решения)} \\ x \in (-\infty; -6) \cup (5; \infty) & \text{(решение квадратного неравенства)} \end{cases}$
Из второго и третьего условий следует, что $x > 5$.
Совмещая это с первым условием ($x \le 30$), получаем окончательное решение:
$5 < x \le 30$.
Ответ: $x \in (5; 30]$.