Номер 240, страница 86 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 14. Системы показательных уравнений и неравенств - номер 240, страница 86.

Условие.

Решить систему уравнений (240—243).

240 1) $\begin{cases} 2x - y = 1, \\ 5^{x+y} = 25; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 2, \\ 3^{x^2 + y} = \frac{1}{9}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = 1, \\ 2^{x-y} = 8; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ 3^{x-y} = 81. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ 5^{x+y} = 25; \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение. Поскольку $25 = 5^2$, уравнение $5^{x+y} = 25$ эквивалентно уравнению $x+y=2$ (так как основания степеней равны, то и показатели равны).

Теперь система состоит из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ x + y = 2; \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x$:

$(2x - y) + (x + y) = 1 + 2$

$3x = 3$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в уравнение $x+y=2$:

$1 + y = 2$

$y = 2 - 1$

$y = 1$

Решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ 3^{x^2+y} = \frac{1}{9}; \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение. Поскольку $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$, уравнение $3^{x^2+y} = \frac{1}{9}$ эквивалентно уравнению $x^2+y = -2$.

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 + y = -2; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x - 2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (x - 2) = -2$

$x^2 + x - 2 + 2 = 0$

$x^2 + x = 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x+1) = 0$.

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$: $y_1 = 0 - 2 = -2$.

При $x_2 = -1$: $y_2 = -1 - 2 = -3$.

Система имеет два решения: $(0; -2)$ и $(-1; -3)$.

Ответ: $(0; -2), (-1; -3)$

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 1, \\ 2^{x-y} = 8; \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение. Поскольку $8 = 2^3$, уравнение $2^{x-y} = 8$ эквивалентно уравнению $x-y=3$.

Теперь система состоит из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 3; \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(x + y) + (x - y) = 1 + 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в уравнение $x+y=1$:

$2 + y = 1$

$y = 1 - 2$

$y = -1$

Решением системы является пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ 3^{x-y} = 81; \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение. Поскольку $81 = 3^4$, уравнение $3^{x-y} = 81$ эквивалентно уравнению $x-y=4$.

Теперь система состоит из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - y = 4; \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$(x + 2y) - (x - y) = 3 - 4$

$x + 2y - x + y = -1$

$3y = -1$

$y = -\frac{1}{3}$

Подставим найденное значение $y=-\frac{1}{3}$ в уравнение $x-y=4$:

$x - (-\frac{1}{3}) = 4$

$x + \frac{1}{3} = 4$

$x = 4 - \frac{1}{3}$

$x = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$

Решением системы является пара чисел $(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3})$.

Ответ: $(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3})$