Номер 246, страница 87 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 246, страница 87.

Условие.

246 Сравнить числа:

1) $4^{-\sqrt{3}}$ и $4^{-\sqrt{2}}$;

2) $2^{\sqrt{3}}$ и $2^{1,7}$;

3) $\left(\frac{1}{2}\right)^{1,4}$ и $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$;

4) $\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi}$ и $\left(\frac{1}{9}\right)^{3,14}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравнить $4^{-\sqrt{3}}$ и $4^{-\sqrt{2}}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 4^x$. Основание степени $a=4$, и так как $a > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Теперь сравним показатели степеней: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{2}$.

Мы знаем, что $3 > 2$. Применяя к обеим частям неравенства возрастающую функцию $f(t)=\sqrt{t}$, получаем $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.

Умножив обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$.

Поскольку функция $y = 4^x$ является возрастающей и $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$, то $4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}}$.

Ответ: $4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}}$.

2) Сравнить $2^{\sqrt{3}}$ и $2^{1,7}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 2^x$. Основание степени $a=2$, и так как $a > 1$, функция является возрастающей. Следовательно, большему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $1,7$.

Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $(1,7)^2 = 2,89$.

Поскольку $3 > 2,89$, то и $\sqrt{3} > 1,7$.

Так как функция $y = 2^x$ возрастающая и $\sqrt{3} > 1,7$, то $2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}$.

Ответ: $2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}$.

3) Сравнить $(\frac{1}{2})^{1,4}$ и $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$

Рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{1}{2})^x$. Основание степени $a = \frac{1}{2}$, и так как $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Сравним показатели степеней: $1,4$ и $\sqrt{2}$.

Возведем оба положительных числа в квадрат: $(1,4)^2 = 1,96$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$.

Так как $1,96 < 2$, то $1,4 < \sqrt{2}$.

Поскольку функция $y = (\frac{1}{2})^x$ является убывающей и $1,4 < \sqrt{2}$, то $(\frac{1}{2})^{1,4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{1,4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

4) Сравнить $(\frac{1}{9})^{\pi}$ и $(\frac{1}{9})^{3,14}$

Рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{1}{9})^x$. Основание степени $a = \frac{1}{9}$, и так как $0 < a < 1$, функция является убывающей. Следовательно, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение самой степени.

Сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,14$.

Число $\pi$ является иррациональным, его приближенное значение с точностью до пяти знаков после запятой равно $\pi \approx 3,14159...$.

Очевидно, что $3,14159... > 3,14$, следовательно, $\pi > 3,14$.

Так как функция $y = (\frac{1}{9})^x$ является убывающей и $\pi > 3,14$, то $(\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3,14}$.

Ответ: $(\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3,14}$.