Номер 248, страница 87 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 248, страница 87.

Условие.

248 (Устно.) Является ли функция возрастающей или убывающей:

1) $y = 0,78^x$;

2) $y = 1,69^x$;

3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x}$;

4) $y = 4^{-x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, является ли показательная функция вида $y = a^x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$ (при условии, что $a > 0$ и $a \neq 1$).

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей на всей области определения.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей на всей области определения.

1) В функции $y = 0,78^x$ основание $a = 0,78$. Поскольку выполняется условие $0 < 0,78 < 1$, данная функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

2) В функции $y = 1,69^x$ основание $a = 1,69$. Поскольку выполняется условие $1,69 > 1$, данная функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

3) Функцию $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x}$ необходимо предварительно преобразовать, чтобы привести ее к стандартному виду $y=a^x$. Используем свойство степени $\left(\frac{b}{c}\right)^{-n} = \left(\frac{c}{b}\right)^n$:
$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = \left(\frac{2}{1}\right)^x = 2^x$.
В полученной функции $y=2^x$ основание $a = 2$. Поскольку $2 > 1$, данная функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

4) Функцию $y = 4^{-x}$ также необходимо преобразовать к виду $y=a^x$. Используем свойство степени $b^{-n} = \left(\frac{1}{b}\right)^n$:
$y = 4^{-x} = (4^{-1})^x = \left(\frac{1}{4}\right)^x$.
В полученной функции $y=\left(\frac{1}{4}\right)^x$ основание $a = \frac{1}{4}$. Поскольку $0 < \frac{1}{4} < 1$, данная функция является убывающей.
Ответ: убывающая.