Номер 251, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 251, страница 88.

Условие.

251 1) $2^x + 2^{x-3} = 18;$

2) $3^x + 4 \cdot 3^{x+1} = 13;$

3) $2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} - 3^x = 9;$

4) $5^{x+1} + 3 \cdot 5^{x-1} - 6 \cdot 5^x + 10 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано показательное уравнение $2^x + 2^{x-3} = 18$.
Для решения воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и преобразуем второй член уравнения: $2^{x-3} = 2^x \cdot 2^{-3} = 2^x \cdot \frac{1}{8}$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$2^x + 2^x \cdot \frac{1}{8} = 18$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x (1 + \frac{1}{8}) = 18$
Выполним сложение в скобках:
$2^x (\frac{9}{8}) = 18$
Теперь выразим $2^x$, разделив обе части уравнения на $\frac{9}{8}$:
$2^x = 18 \cdot \frac{8}{9}$
$2^x = 2 \cdot 8$
$2^x = 16$
Представим число 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2^4$.
$2^x = 2^4$
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:
$x = 4$
Ответ: $4$.

2) Дано уравнение $3^x + 4 \cdot 3^{x+1} = 13$.
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем второй член уравнения: $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$.
Подставим это в уравнение:
$3^x + 4 \cdot (3 \cdot 3^x) = 13$
$3^x + 12 \cdot 3^x = 13$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x (1 + 12) = 13$
$13 \cdot 3^x = 13$
Разделим обе части на 13:
$3^x = 1$
Представим 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
$3^x = 3^0$
Приравниваем показатели степеней:
$x = 0$
Ответ: $0$.

3) Дано уравнение $2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} - 3^x = 9$.
Преобразуем члены уравнения, содержащие $x$ в показателе степени, выделив множитель $3^x$:
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$2 \cdot (3 \cdot 3^x) - 6 \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3^x) - 3^x = 9$
$6 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x - 3^x = 9$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x (6 - 2 - 1) = 9$
$3^x \cdot 3 = 9$
$3^{x+1} = 9$
Представим 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.
$3^{x+1} = 3^2$
Приравниваем показатели степеней:
$x+1 = 2$
$x = 1$
Ответ: $1$.

4) Дано уравнение $5^{x+1} + 3 \cdot 5^{x-1} - 6 \cdot 5^x + 10 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$5^{x+1} + 3 \cdot 5^{x-1} - 6 \cdot 5^x = -10$
Преобразуем члены в левой части, выделив множитель $5^x$:
$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$
$5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot 5^x$
Подставим в уравнение:
$5 \cdot 5^x + 3 \cdot (\frac{1}{5} \cdot 5^x) - 6 \cdot 5^x = -10$
$5 \cdot 5^x + \frac{3}{5} \cdot 5^x - 6 \cdot 5^x = -10$
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x (5 + \frac{3}{5} - 6) = -10$
Выполним действия в скобках:
$5^x (\frac{25}{5} + \frac{3}{5} - \frac{30}{5}) = -10$
$5^x (\frac{25+3-30}{5}) = -10$
$5^x (-\frac{2}{5}) = -10$
Выразим $5^x$:
$5^x = -10 \cdot (-\frac{5}{2})$
$5^x = \frac{50}{2}$
$5^x = 25$
Представим 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.
$5^x = 5^2$
Следовательно:
$x=2$
Ответ: $2$.