Номер 1, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Проверь себя к главе 3 - номер 1, страница 88.

Условие.

1 Построить схематически график функции:

1) $y=\left(\frac{1}{5}\right)^x$;

2) $y=5^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1)

Для построения графика функции $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ проанализируем её свойства. Это показательная функция вида $y=a^x$, где основание $a = \frac{1}{5}$.

Основные свойства:

• Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $y \in (0; +\infty)$. График целиком лежит выше оси Ox.
• Монотонность: так как основание $a = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.
• Пересечение с осями:
  • При $x=0$, $y = \left(\frac{1}{5}\right)^0 = 1$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 1)$.
  • Так как $y > 0$, график не пересекает ось Ox.
• Асимптота: ось Ox (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• Если $x = -1$, то $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$. Точка $(-1, 5)$.
• Если $x = 0$, то $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = \left(\frac{1}{5}\right)^1 = 0.2$. Точка $(1, 0.2)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая проходит через точку $(0,1)$, быстро возрастает при движении влево ($y \to \infty$ при $x \to -\infty$) и стремится к нулю при движении вправо ($y \to 0$ при $x \to \infty$).

Ответ: Схематический график функции $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(-1, 5)$, $(0, 1)$ и $(1, 0.2)$, расположенная в верхней полуплоскости и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

2)

Для построения графика функции $y = 5^x$ проанализируем её свойства. Это показательная функция вида $y=a^x$, где основание $a = 5$.

Основные свойства:

• Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $y \in (0; +\infty)$. График целиком лежит выше оси Ox.
• Монотонность: так как основание $a = 5$ удовлетворяет условию $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.
• Пересечение с осями:
  • При $x=0$, $y = 5^0 = 1$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 1)$.
  • Так как $y > 0$, график не пересекает ось Ox.
• Асимптота: ось Ox (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• Если $x = -1$, то $y = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$. Точка $(-1, 0.2)$.
• Если $x = 0$, то $y = 5^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 5^1 = 5$. Точка $(1, 5)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая проходит через точку $(0,1)$, стремится к нулю при движении влево ($y \to 0$ при $x \to -\infty$) и быстро возрастает при движении вправо ($y \to \infty$ при $x \to \infty$).

Стоит отметить, что $y = (\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$, поэтому графики функций $y = 5^x$ и $y = (\frac{1}{5})^x$ симметричны друг другу относительно оси Oy.

Ответ: Схематический график функции $y = 5^x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(-1, 0.2)$, $(0, 1)$ и $(1, 5)$, расположенная в верхней полуплоскости и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.