Номер 255, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 255, страница 88.

Условие.

255 Доказать, что последовательность значений функции $y = 2^x$ при натуральных значениях $x = 1, 2, 3, \ldots$ является геометрической прогрессией.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену есть величина постоянная. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии.

Рассмотрим последовательность, заданную значениями функции $y = 2^x$ при натуральных значениях аргумента $x = 1, 2, 3, \ldots$. Обозначим члены этой последовательности как $b_n$.

При $x=n$, где $n$ — натуральное число, n-й член последовательности равен:
$b_n = 2^n$

Следующий за ним, (n+1)-й член последовательности, соответствует значению $x=n+1$:
$b_{n+1} = 2^{n+1}$

Теперь найдем отношение (n+1)-го члена к n-му члену:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получим:
$\frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1)-n} = 2^1 = 2$

Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно 2 для любого натурального $n$, то оно является постоянной величиной.

Таким образом, последовательность значений функции $y=2^x$ при натуральных значениях $x$ является геометрической прогрессией. Её первый член $b_1 = 2^1 = 2$, а знаменатель $q = 2$.

Ответ: Поскольку отношение любого члена последовательности $b_n = 2^n$, начиная со второго, к предыдущему члену постоянно и равно $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$, данная последовательность является геометрической прогрессией, что и требовалось доказать.