Номер 4, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Проверь себя к главе 3 - номер 4, страница 88.

Условие.

4 Решить неравенство:

1) $7^{x-2} > 49$;

2) $0,5^{x^2-2} \ge \frac{1}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) Решим показательное неравенство $7^{x-2} > 49$.

Для начала приведем обе части неравенства к одному основанию. Правая часть $49$ может быть представлена как степень числа 7:

$49 = 7^2$

Теперь неравенство принимает вид:

$7^{x-2} > 7^2$

Так как основание степени $a=7$ больше единицы ($7 > 1$), показательная функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей знак неравенства сохраняется:

$x-2 > 2$

Решаем полученное линейное неравенство, прибавив 2 к обеим частям:

$x > 2+2$

$x > 4$

Решением неравенства является интервал от 4 до плюс бесконечности, не включая 4.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

2) Решим показательное неравенство $0.5^{x^2-2} \ge \frac{1}{4}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Представим $0.5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$ как степень числа $\frac{1}{2}$:

$0.5 = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = (\frac{1}{2})^2$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(\frac{1}{2})^{x^2-2} \ge (\frac{1}{2})^2$

Так как основание степени $a=0.5$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < 0.5 < 1$), показательная функция является убывающей. Это значит, что при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2-2 \le 2$

Решим полученное квадратное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2 - 2 \le 0$

$x^2 - 4 \le 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x-2)(x+2) \le 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$. Корни равны $x_1=-2$ и $x_2=2$. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на три интервала. Так как неравенство нестрогое, точки будут закрашенными.

Определим знаки выражения $(x-2)(x+2)$ на каждом интервале. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является отрезок от -2 до 2, включая концы.

Ответ: $x \in [-2; 2]$.