Номер 253, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 253, страница 88.

Условие.

253 Решить неравенство:

1) $3^{x-2} > 9$;

2) $5^{2x} < \frac{1}{25}$;

3) $0,7^{x^2+2x} < 0,7^3$;

4) $(\frac{1}{3})^{x^2} > \frac{1}{81}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим неравенство $3^{x-2} > 9$.
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.
Неравенство примет вид: $3^{x-2} > 3^2$.
Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$x - 2 > 2$
$x > 2 + 2$
$x > 4$
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $5^{2x} < \frac{1}{25}$.
Представим $\frac{1}{25}$ в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.
Получим неравенство: $5^{2x} < 5^{-2}$.
Основание степени $5 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется:
$2x < -2$
$x < -1$
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

3) Решим неравенство $0,7^{x^2+2x} < 0,7^3$.
Основание степени $0,7$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + 2x > 3$
$x^2 + 2x - 3 > 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 + 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, неравенство $x^2 + 2x - 3 > 0$ выполняется за пределами корней.
Таким образом, $x < -3$ или $x > 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

4) Решим неравенство $(\frac{1}{3})^{x^2} > \frac{1}{81}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$.
Неравенство примет вид: $(\frac{1}{3})^{x^2} > (\frac{1}{3})^4$.
Так как основание степени $\frac{1}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 < 4$
$x^2 - 4 < 0$
$(x-2)(x+2) < 0$
Решением этого неравенства является интервал между корнями $x = -2$ и $x = 2$.
$-2 < x < 2$
Ответ: $x \in (-2; 2)$.