Номер 243, страница 86 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 14. Системы показательных уравнений и неравенств - номер 243, страница 86.

Условие.

243 1) $\begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2^x - 9 \cdot 3^y = 7, \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{8}{9}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 16^y - 16^x = 24, \\ 16^{x+y} = 256; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3^x + 2^{x+y+1} = 5, \\ 3^{x+1} - 2^{x+y} = 1; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 5^{x+1} \cdot 3^y = 75, \\ 3^x \cdot 5^{y-1} = 3; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 4, \\ 3^y \cdot 2^x = 9. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)
Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$:
$5^{x-1} = \frac{5^x}{5}$
$5^{y-1} = \frac{5^y}{5}$
Подставим это во второе уравнение:
$\frac{5^x}{5} + \frac{5^y}{5} = 30$
Умножим обе части на 5:
$5^x + 5^y = 150$
Теперь у нас есть новая, более простая система:
$ \begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^x + 5^y = 150; \end{cases} $
Сделаем замену переменных. Пусть $a = 5^x$ и $b = 5^y$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a - b = 100, \\ a + b = 150; \end{cases} $
Сложим два уравнения:
$(a - b) + (a + b) = 100 + 150$
$2a = 250 \implies a = 125$
Подставим значение $a$ в любое из уравнений, например, во второе:
$125 + b = 150 \implies b = 25$
Вернемся к исходным переменным:
$a = 5^x \implies 125 = 5^x \implies 5^3 = 5^x \implies x = 3$
$b = 5^y \implies 25 = 5^y \implies 5^2 = 5^y \implies y = 2$
Ответ: $x = 3, y = 2$.

2)
Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 2^x - 9 \cdot 3^y = 7, \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{8}{9}; \end{cases} $
Сделаем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a - 9b = 7, \\ a \cdot b = \frac{8}{9}; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $a$:
$a = 7 + 9b$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(7 + 9b) \cdot b = \frac{8}{9}$
$7b + 9b^2 = \frac{8}{9}$
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби:
$63b + 81b^2 = 8$
$81b^2 + 63b - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $b$. Дискриминант $D = 63^2 - 4 \cdot 81 \cdot (-8) = 3969 + 2592 = 6561$.
$\sqrt{D} = 81$.
$b_1 = \frac{-63 + 81}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$
$b_2 = \frac{-63 - 81}{2 \cdot 81} = \frac{-144}{162} = -\frac{8}{9}$
Поскольку $b = 3^y$, значение $b$ должно быть положительным. Следовательно, $b_2 = -8/9$ не является решением.
Рассмотрим $b = 1/9$:
$a = 7 + 9b = 7 + 9 \cdot \frac{1}{9} = 7 + 1 = 8$.
Вернемся к исходным переменным:
$a = 2^x \implies 8 = 2^x \implies 2^3 = 2^x \implies x = 3$
$b = 3^y \implies \frac{1}{9} = 3^y \implies 3^{-2} = 3^y \implies y = -2$
Ответ: $x = 3, y = -2$.

3)
Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 16^y - 16^x = 24, \\ 16^{x+y} = 256; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$16^x \cdot 16^y = 256$
Сделаем замену переменных. Пусть $a = 16^x$ и $b = 16^y$. Система примет вид:
$ \begin{cases} b - a = 24, \\ a \cdot b = 256; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $b$:
$b = 24 + a$
Подставим это во второе уравнение:
$a \cdot (24 + a) = 256$
$a^2 + 24a - 256 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $a_1 = 8$ и $a_2 = -32$.
Поскольку $a = 16^x$, значение $a$ должно быть положительным. Следовательно, $a_2 = -32$ не является решением.
Рассмотрим $a = 8$:
$b = 24 + a = 24 + 8 = 32$.
Вернемся к исходным переменным:
$a = 16^x \implies 8 = 16^x \implies 2^3 = (2^4)^x \implies 2^3 = 2^{4x} \implies 3 = 4x \implies x = \frac{3}{4}$
$b = 16^y \implies 32 = 16^y \implies 2^5 = (2^4)^y \implies 2^5 = 2^{4y} \implies 5 = 4y \implies y = \frac{5}{4}$
Ответ: $x = \frac{3}{4}, y = \frac{5}{4}$.

4)
Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 3^x + 2^{x+y+1} = 5, \\ 3^{x+1} - 2^{x+y} = 1; \end{cases} $
Преобразуем уравнения, используя свойства степеней:
$2^{x+y+1} = 2^{x+y} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{x+y}$
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Система примет вид:
$ \begin{cases} 3^x + 2 \cdot 2^{x+y} = 5, \\ 3 \cdot 3^x - 2^{x+y} = 1; \end{cases} $
Сделаем замену. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^{x+y}$. Система станет линейной:
$ \begin{cases} a + 2b = 5, \\ 3a - b = 1; <\end{cases} $
Из второго уравнения выразим $b$: $b = 3a - 1$.
Подставим в первое уравнение:
$a + 2(3a - 1) = 5$
$a + 6a - 2 = 5$
$7a = 7 \implies a = 1$
Найдем $b$: $b = 3(1) - 1 = 2$.
Вернемся к исходным переменным:
$a = 3^x \implies 1 = 3^x \implies 3^0 = 3^x \implies x = 0$
$b = 2^{x+y} \implies 2 = 2^{x+y} \implies 2 = 2^{0+y} \implies y = 1$
Ответ: $x = 0, y = 1$.

5)
Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 5^{x+1} \cdot 3^y = 75, \\ 3^x \cdot 5^{y-1} = 3; \end{cases} $
Преобразуем оба уравнения:
$5 \cdot 5^x \cdot 3^y = 75 \implies 5^x \cdot 3^y = 15$
$3^x \cdot \frac{5^y}{5} = 3 \implies 3^x \cdot 5^y = 15$
Получаем систему:
$ \begin{cases} 5^x \cdot 3^y = 15, \\ 3^x \cdot 5^y = 15; \end{cases} $
Приравняем левые части уравнений:
$5^x \cdot 3^y = 3^x \cdot 5^y$
Разделим обе части на $3^x \cdot 3^y$ (что возможно, т.к. они не равны нулю):
$\frac{5^x}{3^x} = \frac{5^y}{3^y}$
$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^y \implies x = y$
Подставим $y = x$ в первое преобразованное уравнение:
$5^x \cdot 3^x = 15$
$(5 \cdot 3)^x = 15$
$15^x = 15^1 \implies x = 1$
Поскольку $x=y$, то $y=1$.
Ответ: $x = 1, y = 1$.

6)
Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 4, \\ 3^y \cdot 2^x = 9; \end{cases} $
Перемножим уравнения системы:
$(3^x \cdot 2^y) \cdot (3^y \cdot 2^x) = 4 \cdot 9$
$3^x \cdot 3^y \cdot 2^x \cdot 2^y = 36$
$3^{x+y} \cdot 2^{x+y} = 36$
$(3 \cdot 2)^{x+y} = 36$
$6^{x+y} = 6^2 \implies x+y=2$
Теперь разделим второе уравнение на первое:
$\frac{3^y \cdot 2^x}{3^x \cdot 2^y} = \frac{9}{4}$
$\frac{3^y}{3^x} \cdot \frac{2^x}{2^y} = \frac{9}{4}$
$3^{y-x} \cdot 2^{x-y} = \frac{9}{4}$
$3^{y-x} \cdot (2^{-1})^{y-x} = \frac{9}{4}$
$3^{y-x} \cdot (\frac{1}{2})^{y-x} = \frac{9}{4}$
$(\frac{3}{2})^{y-x} = (\frac{3}{2})^2 \implies y-x=2$
Получили систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 2, \\ -x + y = 2; \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(x+y) + (-x+y) = 2+2$
$2y = 4 \implies y = 2$
Подставим $y=2$ в первое уравнение:
$x + 2 = 2 \implies x = 0$
Ответ: $x = 0, y = 2$.