Номер 237, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 237, страница 84.

Условие.

237 Решить графически уравнение:

1) $2^x = 3 - 2x - x^2$;

2) $3^{-x} = \sqrt{x}$;

3) $(\frac{1}{3})^x = -\frac{3}{x}$;

4) $(\frac{1}{2})^x = x^3 - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы решить уравнение $2^x = 3 - 2x - x^2$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - 2x - x^2$.
Функция $y_1 = 2^x$ — это показательная функция. Она возрастает на всей области определения. График проходит через точки $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 4)$.
Функция $y_2 = 3 - 2x - x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Перепишем уравнение в виде $y_2 = -(x^2 + 2x - 3) = -(x^2 + 2x + 1 - 4) = -(x+1)^2 + 4$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(-1, 4)$. Парабола пересекает ось Ох в точках $x=-3$ и $x=1$ (так как $3 - 2x - x^2 = 0 \implies x^2+2x-3=0 \implies (x+3)(x-1)=0$).
Построив эскизы графиков, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Абсцисса (координата $x$) каждой точки пересечения является корнем исходного уравнения. Из графика видно, что одна точка пересечения имеет абсциссу в интервале $(-3, -2)$, а другая — в интервале $(0, 1)$.
Ответ: уравнение имеет два корня, один находится в интервале $(-3, -2)$, другой в интервале $(0, 1)$.

2) Для решения уравнения $3^{-x} = \sqrt{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 3^{-x}$ и $y_2 = \sqrt{x}$.
Функция $y_1 = 3^{-x}$ может быть записана как $y_1 = (\frac{1}{3})^x$. Это показательная функция, убывающая на всей области определения. График проходит через точки $(-1, 3)$, $(0, 1)$ и $(1, 1/3)$.
Функция $y_2 = \sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$. Её график — это ветвь параболы, симметричная относительно прямой $y=x$ графику функции $y=x^2$ (для $x \ge 0$). Функция возрастает на всей области определения. График проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(4, 2)$.
Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает на области $x \ge 0$, они могут пересечься не более одного раза. При $x=0$, $y_1(0)=1$, а $y_2(0)=0$. При $x=1$, $y_1(1)=1/3$, а $y_2(1)=1$. Так как на концах отрезка $[0, 1]$ значения функций меняют свое относительное положение ($y_1>y_2$ при $x=0$ и $y_1<y_2$ при $x=1$), то точка пересечения находится в интервале $(0, 1)$.
Ответ: уравнение имеет один корень, который находится в интервале $(0, 1)$.

3) Для решения уравнения $(\frac{1}{3})^x = -\frac{3}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = -\frac{3}{x}$.
Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ — это убывающая показательная функция. Её значения всегда положительны ($y_1 > 0$ для любого $x$). График проходит через точки $(-1, 3)$, $(0, 1)$ и $(1, 1/3)$.
Функция $y_2 = -\frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Так как $y_1$ всегда положительна, решения могут существовать только там, где $y_2 > 0$, то есть при $x < 0$.
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ является убывающей, а функция $y_2 = -\frac{3}{x}$ — возрастающей. Следовательно, они могут пересечься не более одного раза.
Проверим целочисленные значения $x < 0$.При $x=-1$:$y_1 = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$$y_2 = -\frac{3}{-1} = 3$Поскольку $y_1 = y_2$, то $x = -1$ является корнем уравнения.
Ответ: $x = -1$.

4) Для решения уравнения $(\frac{1}{2})^x = x^3 - 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = x^3 - 1$.
Функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая показательная функция. График проходит через точки $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$ и $(2, 1/4)$.
Функция $y_2 = x^3 - 1$ — это кубическая парабола, смещенная на 1 единицу вниз. Эта функция является возрастающей на всей области определения. График проходит через точки $(0, -1)$, $(1, 0)$ и $(2, 7)$.
Так как функция $y_1$ убывает, а функция $y_2$ возрастает, они могут пересечься не более одного раза.При $x=1$, $y_1(1) = 1/2$, а $y_2(1) = 1^3-1=0$.При $x=2$, $y_1(2) = 1/4$, а $y_2(2) = 2^3-1=7$.Поскольку при $x=1$ имеем $y_1 > y_2$, а при $x=2$ имеем $y_1 < y_2$, точка пересечения графиков находится в интервале $(1, 2)$.
Ответ: уравнение имеет один корень, который находится в интервале $(1, 2)$.