Номер 231, страница 83 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Решить неравенство (231–232).

231 1) $2^{-x^2+3x} < 4$;

2) $(\frac{7}{9})^{2x^2-3x} \ge \frac{9}{7}$;

3) $(\frac{13}{11})^{x^2-3x} < \frac{121}{169}$;

4) $(2\frac{2}{3})^{6x^2+x} \le 7\frac{1}{9}$.

1) $2^{-x^2+3x} < 4$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 2. Так как $4 = 2^2$, неравенство принимает вид:

$2^{-x^2+3x} < 2^2$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-x^2+3x < 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^2+3x-2 < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2-3x+2 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-3x+2=0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Парабола $y=x^2-3x+2$ ветвями направлена вверх. Значения функции больше нуля при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 2$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (2; \infty)$

2) $(\frac{7}{9})^{2x^2-3x} \ge \frac{9}{7}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{7}{9}$. Так как $\frac{9}{7} = (\frac{7}{9})^{-1}$, неравенство принимает вид:

$(\frac{7}{9})^{2x^2-3x} \ge (\frac{7}{9})^{-1}$

Поскольку основание степени $0 < \frac{7}{9} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x^2-3x \le -1$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2-3x+1 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2-3x+1=0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3+1}{4} = 1$.

Парабола $y=2x^2-3x+1$ ветвями направлена вверх. Значения функции меньше или равны нулю между корнями (включительно).

Следовательно, решение неравенства: $\frac{1}{2} \le x \le 1$.

Ответ: $[\frac{1}{2}; 1]$

3) $(\frac{13}{11})^{x^2-3x} < \frac{121}{169}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{13}{11}$. Так как $\frac{121}{169} = \frac{11^2}{13^2} = (\frac{11}{13})^2 = ((\frac{13}{11})^{-1})^2 = (\frac{13}{11})^{-2}$, неравенство принимает вид:

$(\frac{13}{11})^{x^2-3x} < (\frac{13}{11})^{-2}$

Поскольку основание степени $\frac{13}{11} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2-3x < -2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2-3x+2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-3x+2=0$. Корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Парабола $y=x^2-3x+2$ ветвями направлена вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $1 < x < 2$.

Ответ: $(1; 2)$

4) $(2\frac{2}{3})^{6x^2+x} \le 7\frac{1}{9}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

$7\frac{1}{9} = \frac{64}{9}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{8}{3})^{6x^2+x} \le \frac{64}{9}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{8}{3}$. Так как $\frac{64}{9} = (\frac{8}{3})^2$, неравенство принимает вид:

$(\frac{8}{3})^{6x^2+x} \le (\frac{8}{3})^2$

Поскольку основание степени $\frac{8}{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$6x^2+x \le 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$6x^2+x-2 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2+x-2=0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1-\sqrt{49}}{12} = \frac{-1-7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{-1+\sqrt{49}}{12} = \frac{-1+7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Парабола $y=6x^2+x-2$ ветвями направлена вверх. Значения функции меньше или равны нулю между корнями (включительно).

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{2}{3} \le x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $[-\frac{2}{3}; \frac{1}{2}]$