Номер 227, страница 81 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 227, страница 81.

Условие.

227 Доказать, что уравнение имеет только один корень $x = 1$:

1) $4^x + 25^x = 29$;

2) $7^x + 18^x = 25$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $4^x + 25^x = 29$

Сначала необходимо убедиться, что $x=1$ действительно является корнем данного уравнения. Для этого подставим значение $x=1$ в левую часть уравнения:
$4^1 + 25^1 = 4 + 25 = 29$.
Мы получили верное равенство $29 = 29$, следовательно, $x=1$ — корень уравнения.

Далее докажем, что других корней у уравнения нет. Для этого рассмотрим функцию, стоящую в левой части уравнения: $f(x) = 4^x + 25^x$.

Эта функция является суммой двух показательных функций: $y_1(x) = 4^x$ и $y_2(x) = 25^x$. Каждая из этих функций является строго возрастающей на всей своей области определения ($x \in \mathbb{R}$), так как их основания ($4$ и $25$) больше 1.

Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Таким образом, функция $f(x) = 4^x + 25^x$ строго возрастает на всей числовой прямой.

По свойству строго монотонной функции, она принимает каждое своё значение только один раз. Поскольку мы уже установили, что $f(1) = 29$, то никакое другое значение $x$ не может дать в результате 29. Если $x > 1$, то $f(x) > f(1) = 29$. Если $x < 1$, то $f(x) < f(1) = 29$. Следовательно, корень $x=1$ является единственным.
Ответ: Доказано, что уравнение $4^x + 25^x = 29$ имеет только один корень $x = 1$.

2) $7^x + 18^x = 25$

Действуем по аналогии с предыдущим заданием. Сначала проверим, является ли $x=1$ корнем. Подставляем $x=1$ в уравнение:
$7^1 + 18^1 = 7 + 18 = 25$.
Получено верное равенство $25 = 25$, значит $x=1$ — корень.

Теперь докажем, что этот корень единственный. Рассмотрим функцию $g(x) = 7^x + 18^x$.

Функция $g(x)$ представляет собой сумму двух показательных функций: $y_1(x) = 7^x$ и $y_2(x) = 18^x$. Основания этих функций ($7$ и $18$) больше 1, поэтому обе функции являются строго возрастающими на множестве всех действительных чисел.

Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Следовательно, функция $g(x) = 7^x + 18^x$ строго возрастает.

Строго возрастающая функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Так как мы уже знаем, что $g(1) = 25$, это означает, что уравнение $g(x) = 25$ не может иметь других корней, кроме $x=1$.
Ответ: Доказано, что уравнение $7^x + 18^x = 25$ имеет только один корень $x = 1$.