Номер 221, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 221, страница 80.

Условие.

221 1) $2^{|x-2|} = 2^{|x+4|};$

2) $1.5^{|5-x|} = 1.5^{|x-1|};$

3) $3^{|x+1|} = 3^{2-|x|};$

4) $3^{|x|} = 3^{|2-x|-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано показательное уравнение $2^{|x-2|} = 2^{|x+4|}$. Так как основания степеней ($2$) одинаковы и не равны 1, мы можем приравнять их показатели:

$|x-2| = |x+4|$

Уравнение вида $|f(x)| = |g(x)|$ равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ или $f(x) = -g(x)$.

Рассмотрим первый случай:

$x - 2 = x + 4$

$-2 = 4$

Это равенство неверно, следовательно, в этом случае решений нет.

Рассмотрим второй случай:

$x - 2 = -(x + 4)$

$x - 2 = -x - 4$

$2x = -2$

$x = -1$

Проверка: подставим $x=-1$ в исходное уравнение. Левая часть: $2^{|-1-2|} = 2^{|-3|} = 2^3 = 8$. Правая часть: $2^{|-1+4|} = 2^{|3|} = 2^3 = 8$. Равенство $8=8$ верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $-1$

2)

Дано уравнение $1.5^{|5-x|} = 1.5^{|x-1|}$. Основания степеней равны ($1.5$), поэтому приравниваем показатели:

$|5-x| = |x-1|$

Используя свойство модуля $|a|=|-a|$, можем записать $|5-x|$ как $|-(x-5)| = |x-5|$. Уравнение примет вид:

$|x-5| = |x-1|$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x-5 = x-1$ и $x-5 = -(x-1)$.

Случай 1: $x-5 = x-1$.

$-5 = -1$. Равенство неверное, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x-5 = -(x-1)$.

$x-5 = -x+1$

$2x = 6$

$x = 3$

Проверка: подставим $x=3$ в исходное уравнение. Левая часть: $1.5^{|5-3|} = 1.5^{|2|} = 1.5^2 = 2.25$. Правая часть: $1.5^{|3-1|} = 1.5^{|2|} = 1.5^2 = 2.25$. Равенство $2.25=2.25$ верное, решение найдено правильно.

Ответ: $3$

3)

В уравнении $3^{|x+1|} = 3^{2-|x|}$ основания степеней равны, поэтому приравниваем показатели:

$|x+1| = 2 - |x|$

Поскольку левая часть уравнения, $|x+1|$, всегда неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ):

$2 - |x| \ge 0 \implies |x| \le 2 \implies -2 \le x \le 2$

Для решения уравнения раскроем модули методом интервалов. Нули подмодульных выражений — это точки $x=-1$ и $x=0$. Эти точки разбивают ОДЗ на три интервала: $[-2, -1)$, $[-1, 0)$ и $[0, 2]$.

1. Рассмотрим интервал $x \in [-2, -1)$. На этом интервале $x+1 < 0$ и $x < 0$, поэтому $|x+1| = -(x+1)$ и $|x| = -x$.

$-(x+1) = 2 - (-x)$

$-x-1 = 2+x$

$2x = -3$

$x = -1.5$. Это значение входит в рассматриваемый интервал, поэтому является корнем.

2. Рассмотрим интервал $x \in [-1, 0)$. На этом интервале $x+1 \ge 0$ и $x < 0$, поэтому $|x+1| = x+1$ и $|x| = -x$.

$x+1 = 2 - (-x)$

$x+1 = 2+x$

$1=2$. Это неверное равенство, на этом интервале корней нет.

3. Рассмотрим интервал $x \in [0, 2]$. На этом интервале $x+1 > 0$ и $x \ge 0$, поэтому $|x+1| = x+1$ и $|x| = x$.

$x+1 = 2-x$

$2x = 1$

$x = 0.5$. Это значение входит в рассматриваемый интервал, поэтому является корнем.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1.5; 0.5$

4)

В уравнении $3^{|x|} = 3^{|2-x|-1}$ приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$|x| = |2-x| - 1$

Перенесем $1$ в левую часть и воспользуемся свойством $|a-b| = |b-a|$, т.е. $|2-x| = |x-2|$:

$|x| + 1 = |x-2|$

Левая часть уравнения всегда положительна. Решим уравнение, раскрывая модули методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $x=0$ и $x=2$.

1. Рассмотрим интервал $x < 0$. Здесь $|x| = -x$ и $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.

$-x+1 = -x+2$

$1=2$. Неверное равенство, на этом интервале корней нет.

2. Рассмотрим интервал $0 \le x < 2$. Здесь $|x| = x$ и $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.

$x+1 = -x+2$

$2x = 1$

$x = 0.5$. Это значение входит в рассматриваемый интервал, следовательно, является корнем.

3. Рассмотрим интервал $x \ge 2$. Здесь $|x| = x$ и $|x-2| = x-2$.

$x+1 = x-2$

$1 = -2$. Неверное равенство, на этом интервале корней нет.

Единственным решением уравнения является $x = 0.5$.

Ответ: $0.5$