Номер 215, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 215, страница 80.

Условие.

215 1) $0,3^{x^3 - x^2 + x - 1} = 1;$

2) $\left(2 \frac{1}{3}\right)^{-x^2 - 2x + 3} = 1;$

3) $5,1^{\frac{1}{2}(x-3)} = 5,1\sqrt{5,1};$

4) $100^{x^2-1} = 10^{1-5x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $0.3^{x^3 - x^2 + x - 1} = 1$
Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Поэтому мы можем представить 1 как $0.3^0$.
$0.3^{x^3 - x^2 + x - 1} = 0.3^0$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$
Для решения этого кубического уравнения применим метод группировки:
$(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:
$(x^2 + 1)(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$
2. $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Таким образом, единственным решением уравнения является $x=1$.
Ответ: 1.

2) $(\frac{1}{3})^{-x^2 - 2x + 3} = 1$
Аналогично первому примеру, представим 1 как $(\frac{1}{3})^0$.
$(\frac{1}{3})^{-x^2 - 2x + 3} = (\frac{1}{3})^0$
Приравниваем показатели степеней:
$-x^2 - 2x + 3 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы сделать старший коэффициент положительным:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней должна быть равна $-2$, а их произведение $-3$.
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Ответ: 1; -3.

3) $5.1^{\frac{1}{2}(x-3)} = 5.1 \sqrt{5.1}$
Преобразуем правую часть уравнения, чтобы представить ее в виде степени с основанием 5.1.
Используем свойства степеней: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$5.1 \sqrt{5.1} = 5.1^1 \cdot 5.1^{\frac{1}{2}} = 5.1^{1 + \frac{1}{2}} = 5.1^{\frac{3}{2}}$
Теперь исходное уравнение можно записать так:
$5.1^{\frac{1}{2}(x-3)} = 5.1^{\frac{3}{2}}$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
$\frac{1}{2}(x-3) = \frac{3}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$x - 3 = 3$
$x = 3 + 3$
$x = 6$
Ответ: 6.

4) $100^{x^2 - 1} = 10^{1 - 5x}$
Чтобы решить это уравнение, нужно привести обе его части к одному основанию. Заметим, что $100 = 10^2$.
Подставим это в левую часть уравнения:
$(10^2)^{x^2 - 1} = 10^{1 - 5x}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$10^{2(x^2 - 1)} = 10^{1 - 5x}$
$10^{2x^2 - 2} = 10^{1 - 5x}$
Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:
$2x^2 - 2 = 1 - 5x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 + 5x - 2 - 1 = 0$
$2x^2 + 5x - 3 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$
$x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$
Ответ: 0.5; -3.