Номер 212, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 212, страница 79.

Условие.

212 1) $5^x = 8^x$;

2) $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{3})^x$;

3) $3^x = 5^{2x}$;

4) $4^x = 3^{\frac{x}{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $5^x = 8^x$

Чтобы решить это показательное уравнение, разделим обе его части на $8^x$. Это возможно, так как $8^x > 0$ при любом значении $x$.

$\frac{5^x}{8^x} = \frac{8^x}{8^x}$

Используя свойство частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{5}{8})^x = 1$

Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1. Следовательно, показатель степени $x$ должен быть равен нулю.

Ответ: $x=0$.

2) $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{3})^x$

Разделим обе части уравнения на $(\frac{1}{3})^x$. Так как $(\frac{1}{3})^x \neq 0$, это преобразование является равносильным.

$\frac{(\frac{1}{2})^x}{(\frac{1}{3})^x} = 1$

Применяя свойство частного степеней, получаем:

$(\frac{1/2}{1/3})^x = 1$

Упростим дробь в основании степени: $\frac{1/2}{1/3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}$.

$(\frac{3}{2})^x = 1$

Данное равенство верно только тогда, когда показатель степени $x$ равен 0.

Ответ: $x=0$.

3) $3^x = 5^{2x}$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{2x} = (5^2)^x = 25^x$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^x = 25^x$

Разделим обе части на $25^x$ ($25^x \neq 0$):

$\frac{3^x}{25^x} = 1$

$(\frac{3}{25})^x = 1$

Это равенство выполняется только при $x = 0$.

Ответ: $x=0$.

4) $4^x = 3^{\frac{x}{2}}$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $a^{mn} = (a^m)^n$:

$3^{\frac{x}{2}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot x} = (3^{\frac{1}{2}})^x$

Так как $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$, уравнение можно переписать в виде:

$4^x = (\sqrt{3})^x$

Разделим обе части на $(\sqrt{3})^x$ ($(\sqrt{3})^x \neq 0$):

$\frac{4^x}{(\sqrt{3})^x} = 1$

$(\frac{4}{\sqrt{3}})^x = 1$

Данное равенство справедливо только при $x = 0$.

Ответ: $x=0$.