Номер 218, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 218, страница 80.

Условие.

218 1) $7^x - 7^{x-1} = 6;$

2) $3^{2y-1} + 3^{2y-2} - 3^{2y-4} = 315;$

3) $5^{3x} + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140;$

4) $2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} - 5 \cdot 2^x + 6 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим показательное уравнение $7^x - 7^{x-1} = 6$.
Воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, чтобы преобразовать $7^{x-1}$: $7^x - \frac{7^x}{7^1} = 6$.
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки: $7^x \left(1 - \frac{1}{7}\right) = 6$.
Вычислим значение в скобках: $7^x \left(\frac{7}{7} - \frac{1}{7}\right) = 6$.
$7^x \cdot \frac{6}{7} = 6$.
Чтобы найти $7^x$, разделим обе части уравнения на $\frac{6}{7}$ (или умножим на $\frac{7}{6}$): $7^x = 6 \cdot \frac{7}{6}$.
$7^x = 7$.
Так как $7 = 7^1$, имеем: $7^x = 7^1$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $x = 1$.
Ответ: $x=1$.

2) Решим уравнение $3^{2y-1} + 3^{2y-2} - 3^{2y-4} = 315$.
Вынесем за скобки член с наименьшим показателем степени, то есть $3^{2y-4}$. Для этого представим остальные члены уравнения через него: $3^{2y-1} = 3^{(2y-4)+3} = 3^{2y-4} \cdot 3^3$.
$3^{2y-2} = 3^{(2y-4)+2} = 3^{2y-4} \cdot 3^2$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение: $3^{2y-4} \cdot 3^3 + 3^{2y-4} \cdot 3^2 - 3^{2y-4} = 315$.
Вынесем $3^{2y-4}$ за скобки: $3^{2y-4}(3^3 + 3^2 - 1) = 315$.
Вычислим значение в скобках: $3^{2y-4}(27 + 9 - 1) = 315$.
$3^{2y-4} \cdot 35 = 315$.
Разделим обе части уравнения на 35: $3^{2y-4} = \frac{315}{35} = 9$.
Представим 9 как степень числа 3: $3^{2y-4} = 3^2$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $2y - 4 = 2$.
$2y = 6$.
$y = 3$.
Ответ: $y=3$.

3) Решим уравнение $5^{3x} + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140$.
Вынесем за скобки член с наименьшим показателем степени, то есть $5^{3x-2}$. Для этого представим $5^{3x}$ через него: $5^{3x} = 5^{(3x-2)+2} = 5^{3x-2} \cdot 5^2$.
Подставим это выражение в уравнение: $5^{3x-2} \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140$.
Вынесем $5^{3x-2}$ за скобки: $5^{3x-2}(5^2 + 3) = 140$.
Вычислим значение в скобках: $5^{3x-2}(25 + 3) = 140$.
$5^{3x-2} \cdot 28 = 140$.
Разделим обе части уравнения на 28: $5^{3x-2} = \frac{140}{28} = 5$.
Представим 5 как $5^1$: $5^{3x-2} = 5^1$.
Приравниваем показатели степеней: $3x - 2 = 1$.
$3x = 3$.
$x = 1$.
Ответ: $x=1$.

4) Решим уравнение $2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$.
Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$: $2^x \cdot 2^1 + 3 \cdot \frac{2^x}{2^1} - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$.
$2 \cdot 2^x + \frac{3}{2} \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. $2t + \frac{3}{2}t - 5t + 6 = 0$.
Приведем подобные слагаемые: $t \left(2 + \frac{3}{2} - 5\right) + 6 = 0$.
$t \left(\frac{4}{2} + \frac{3}{2} - \frac{10}{2}\right) + 6 = 0$.
$t \left(\frac{7 - 10}{2}\right) + 6 = 0$.
$-\frac{3}{2}t + 6 = 0$.
Перенесем 6 в правую часть: $-\frac{3}{2}t = -6$.
Умножим обе части на $-\frac{2}{3}$: $t = -6 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 4$.
Полученное значение $t=4$ удовлетворяет условию $t>0$.
Выполним обратную замену: $2^x = 4$.
Представим 4 как степень двойки: $2^x = 2^2$.
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.