Номер 220, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 220, страница 80.

Условие.

220 1) $(0,5)^{x^2 - 4x + 3} = (0,5)^{2x^2 + x + 3};$

2) $(0,1)^{3+2x} = (0,1)^{2-x^2};$

3) $3^{\sqrt{x-6}} = 3^x;$

4) $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{\sqrt{2-x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано показательное уравнение $(0,5)^{x^2 - 4x + 3} = (0,5)^{2x^2 + x + 3}$.

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны ($0,5$), мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 4x + 3 = 2x^2 + x + 3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 + x + 4x + 3 - 3 = 0$

Упростим выражение:

$x^2 + 5x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$

Ответ: $0, -5$.

2) Дано показательное уравнение $(0,1)^{3 + 2x} = (0,1)^{2 - x^2}$.

Поскольку основания степеней одинаковы ($0,1$), приравниваем их показатели:

$3 + 2x = 2 - x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x + 3 - 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Свернем левую часть уравнения по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x + 1)^2 = 0$

Из этого следует, что основание степени равно нулю:

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

3) Дано показательное уравнение $3^{\sqrt{x-6}} = 3^x$.

Так как основания степеней равны ($3$), приравниваем их показатели:

$\sqrt{x-6} = x$

Прежде чем решать, определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x - 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6$

Во-вторых, арифметический квадратный корень всегда является неотрицательным числом, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$x \ge 0$

Совмещая оба условия ($x \ge 6$ и $x \ge 0$), получаем, что любой корень уравнения должен удовлетворять условию $x \ge 6$.

Теперь решим само уравнение. Для избавления от корня возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x-6})^2 = x^2$

$x - 6 = x^2$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$x^2 - x + 6 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4) Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{\sqrt{2-x}}$.

Основания степеней равны $(\frac{1}{3})$, поэтому приравниваем показатели:

$x = \sqrt{2-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$

Так как левая часть $x$ равна значению арифметического корня, она также должна быть неотрицательной:

$x \ge 0$

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $0 \le x \le 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2 = (\sqrt{2-x})^2$

$x^2 = 2 - x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -2$

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($0 \le x \le 2$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le 2$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$. Следовательно, это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.

Таким образом, у уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $1$.