Номер 213, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 213, страница 79.

Условие.

213 1) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0;$

2) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0;$

3) $25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0;$

4) $64^x - 8^x - 56 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

Это показательное уравнение. Представим $9^x$ как степень с основанием 3: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

Теперь уравнение принимает вид: $(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$.

Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

Подставив $t$ в уравнение, получаем:

$t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Для этого выполним обратную замену.

Для $t_1 = 1$:
$3^x = 1$
$3^x = 3^0$
$x_1 = 0$

Для $t_2 = 3$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x_2 = 1$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

2) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Представим $16^x$ как степень с основанием 4: $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$.

Уравнение примет вид: $(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 17t + 16 = 0$.

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а произведение равно 16. Корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 16$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполняем обратную замену.

Для $t_1 = 1$:
$4^x = 1$
$4^x = 4^0$
$x_1 = 0$

Для $t_2 = 16$:
$4^x = 16$
$4^x = 4^2$
$x_2 = 2$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

3) $25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$

Представим $25^x$ как $(5^2)^x = (5^x)^2$.

Уравнение примет вид: $(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$.

Введем замену: $t = 5^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение равно 5. Находим корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 5$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполняем обратную замену.

Для $t_1 = 1$:
$5^x = 1$
$5^x = 5^0$
$x_1 = 0$

Для $t_2 = 5$:
$5^x = 5$
$5^x = 5^1$
$x_2 = 1$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

4) $64^x - 8^x - 56 = 0$

Представим $64^x$ как степень с основанием 8: $64^x = (8^2)^x = (8^x)^2$.

Уравнение можно переписать в виде: $(8^x)^2 - 8^x - 56 = 0$.

Введем замену переменной: $t = 8^x$. Условие: $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - t - 56 = 0$.

Решим это уравнение. Можно использовать формулу для корней через дискриминант или теорему Виета.

По теореме Виета, произведение корней равно -56, а их сумма равна 1. Подбираем корни:

$t_1 = 8$

$t_2 = -7$

Проверяем корни по условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 8$ подходит, так как $8 > 0$.

Корень $t_2 = -7$ не подходит, так как $-7 < 0$. Это посторонний корень.

Таким образом, у нас есть только одно значение для $t$. Выполняем обратную замену для $t=8$.

$8^x = 8$
$8^x = 8^1$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$.