Номер 210, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 210, страница 79.

Условие.

210 1) $3 \cdot 9^x = 81;$

2) $2 \cdot 4^x = 64;$

3) $3^{x + \frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1;$

4) $0,5^{x+7} \cdot 0,5^{1-2x} = 2;$

5) $0,6^x \cdot 0,6^3 = \frac{0,6^{2x}}{0,6^5};$

6) $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $3 \cdot 9^x = 81$.
Разделим обе части уравнения на 3:
$9^x = \frac{81}{3}$
$9^x = 27$
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 3. Так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$, получаем:
$(3^2)^x = 3^3$
$3^{2x} = 3^3$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: 1,5.

2) Исходное уравнение: $2 \cdot 4^x = 64$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$4^x = \frac{64}{2}$
$4^x = 32$
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 2. Так как $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$, получаем:
$(2^2)^x = 2^5$
$2^{2x} = 2^5$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2.5$
Ответ: 2,5.

3) Исходное уравнение: $3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$3^{(x+\frac{1}{2})+(x-2)} = 1$
$3^{2x - \frac{3}{2}} = 1$
Представим 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
$3^{2x - \frac{3}{2}} = 3^0$
Приравниваем показатели степеней:
$2x - \frac{3}{2} = 0$
$2x = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{4} = 0.75$
Ответ: 0,75.

4) Исходное уравнение: $0,5^{x+7} \cdot 0,5^{1-2x} = 2$.
Сложим показатели степеней в левой части:
$0,5^{(x+7)+(1-2x)} = 2$
$0,5^{8-x} = 2$
Представим обе части уравнения с основанием 2. Так как $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, получаем:
$(2^{-1})^{8-x} = 2^1$
$2^{-(8-x)} = 2^1$
$2^{x-8} = 2^1$
Приравниваем показатели степеней:
$x-8 = 1$
$x = 9$
Ответ: 9.

5) Исходное уравнение: $0,6^x \cdot 0,6^3 = \frac{0,6^{2x}}{0,6^5}$.
Упростим обе части уравнения, используя свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Левая часть: $0,6^x \cdot 0,6^3 = 0,6^{x+3}$.
Правая часть: $\frac{0,6^{2x}}{0,6^5} = 0,6^{2x-5}$.
Получаем уравнение:
$0,6^{x+3} = 0,6^{2x-5}$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x+3 = 2x-5$
$3+5 = 2x-x$
$x = 8$
Ответ: 8.

6) Исходное уравнение: $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}$.
Представим все части уравнения в виде степени с основанием 6, используя свойство $\frac{1}{a} = a^{-1}$.
Левая часть: $6^{3x} \cdot 6^{-1} = 6^{3x-1}$.
Правая часть: $6^1 \cdot (6^{-1})^{2x} = 6^1 \cdot 6^{-2x} = 6^{1-2x}$.
Получаем уравнение:
$6^{3x-1} = 6^{1-2x}$
Приравниваем показатели степеней:
$3x-1 = 1-2x$
$3x+2x = 1+1$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5} = 0.4$
Ответ: 0,4.