Номер 209, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 209, страница 79.

Условие.

209 1) $27^x = \frac{1}{3}$;

2) $400^x = \frac{1}{20}$;

3) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25$;

4) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{81}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим показательное уравнение $27^x = \frac{1}{3}$.
Для этого приведем обе части уравнения к одному основанию. Общим основанием является число 3.
Представим левую и правую части уравнения в виде степени с основанием 3.
Число 27 можно представить как $3^3$.
Дробь $\frac{1}{3}$ можно представить как $3^{-1}$ (согласно свойству $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(3^3)^x = 3^{-1}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для левой части:
$3^{3x} = 3^{-1}$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$3x = -1$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$x = -\frac{1}{3}$
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

2) Решим уравнение $400^x = \frac{1}{20}$.
Приведем обе части к общему основанию 20.
Представим 400 как степень числа 20: $400 = 20^2$.
Представим $\frac{1}{20}$ как степень числа 20: $\frac{1}{20} = 20^{-1}$.
Заменим выражения в исходном уравнении:
$(20^2)^x = 20^{-1}$
Применим свойство возведения степени в степень:
$20^{2x} = 20^{-1}$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$2x = -1$
Находим $x$:
$x = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

3) Решим уравнение $(\frac{1}{5})^x = 25$.
Приведем обе части к общему основанию 5.
Представим $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$.
Представим 25 как $5^2$.
Уравнение примет вид:
$(5^{-1})^x = 5^2$
Упростим левую часть:
$5^{-x} = 5^2$
Так как основания равны, приравниваем показатели:
$-x = 2$
Отсюда находим $x$:
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.

4) Решим уравнение $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{81}$.
В этом случае удобно привести обе части к основанию $\frac{1}{3}$.
Представим правую часть $\frac{1}{81}$ как степень с основанием $\frac{1}{3}$.
Мы знаем, что $81 = 3^4$.
Следовательно, $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$.
Подставим это в уравнение:
$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^4$
Поскольку основания в обеих частях уравнения одинаковы, их показатели должны быть равны.
$x = 4$
Ответ: $x = 4$.