Номер 202, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 202, страница 76.

Условие.

202 Доказать, что графики функций $y = 2^x$ и $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ симметричны относительно оси ординат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что графики функций $y = 2^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$ симметричны относительно оси ординат (оси OY), нужно показать, что для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей одному графику, точка $(-x_0, y_0)$ принадлежит другому графику.

Математически это условие можно записать так: если у нас есть две функции $f(x)$ и $g(x)$, их графики симметричны относительно оси ординат, если выполняется тождество $g(x) = f(-x)$ или $f(x) = g(-x)$.

Обозначим наши функции:

$f(x) = 2^x$

$g(x) = (\frac{1}{2})^x$

Проверим, выполняется ли условие $f(-x) = g(x)$. Для этого найдем выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = 2^{-x}$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n} = (\frac{1}{a})^n$, преобразуем полученное выражение:

$2^{-x} = (2^{-1})^x = (\frac{1}{2})^x$

Как мы видим, полученное выражение в точности совпадает с функцией $g(x)$:

$f(-x) = (\frac{1}{2})^x = g(x)$

Так как тождество $f(-x) = g(x)$ выполняется для любого значения $x$, это означает, что графики функций $y = 2^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$ симметричны относительно оси ординат.

Ответ: Условием симметрии графиков функций $f(x)$ и $g(x)$ относительно оси ординат является выполнение равенства $f(-x)=g(x)$. Для функций $f(x)=2^x$ и $g(x)=(\frac{1}{2})^x$ имеем: $f(-x) = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x = g(x)$. Равенство выполняется, следовательно, графики данных функций симметричны относительно оси ординат, что и требовалось доказать.