Номер 198, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 198, страница 76.

Условие.

198 (Устно.) Решить уравнение:

1) $5^x = \frac{1}{5}$;

2) $7^x = 49$;

3) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \sqrt{3}$;

4) $\left(\frac{1}{7}\right)^x = \sqrt[3]{7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $5^x = \frac{1}{5}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 5. Правую часть уравнения можно представить в виде степени с основанием 5, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{5} = \frac{1}{5^1} = 5^{-1}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^x = 5^{-1}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, то для равенства выражения их показатели также должны быть равны.

$x = -1$

Ответ: -1

2) $7^x = 49$

Приведем обе части уравнения к основанию 7. Мы знаем, что 49 это квадрат числа 7:

$49 = 7^2$

Подставим это значение в уравнение:

$7^x = 7^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 2$

Ответ: 2

3) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{3}$

Приведем обе части уравнения к основанию 3. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $(\frac{1}{a})^m = a^{-m}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Преобразуем левую часть:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Преобразуем правую часть (квадратный корень соответствует степени 1/2):

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^{-x} = 3^{\frac{1}{2}}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = \frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

4) $(\frac{1}{7})^x = \sqrt[3]{7}$

Приведем обе части уравнения к основанию 7, используя те же свойства, что и в предыдущем задании.

Преобразуем левую часть:

$(\frac{1}{7})^x = (7^{-1})^x = 7^{-x}$

Преобразуем правую часть (кубический корень соответствует степени 1/3):

$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$

Запишем уравнение с одинаковыми основаниями:

$7^{-x} = 7^{\frac{1}{3}}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = \frac{1}{3}$

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$