Номер 192, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 192, страница 76.

Условие.

192 Построить график функции:

1) $y = 3^x$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 3^x$

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a = 3$.
Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Так как основание $a=3 > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения.
• График функции пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке $(0, 1)$, так как $y(0) = 3^0 = 1$.
• График не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$). Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Для построения графика найдем несколько контрольных точек, вычислив значения функции для некоторых значений $x$:
при $x = -2$, $y = 3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0.11$;
при $x = -1$, $y = 3^{-1} = \frac{1}{3} \approx 0.33$;
при $x = 0$, $y = 3^0 = 1$;
при $x = 1$, $y = 3^1 = 3$;
при $x = 2$, $y = 3^2 = 9$.

Отметим эти точки $(-2, \frac{1}{9})$, $(-1, \frac{1}{3})$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученная кривая будет являться графиком функции $y = 3^x$. Она будет быстро возрастать при $x > 0$ и приближаться к оси $Ox$ при $x < 0$.

Ответ: График функции $y = 3^x$ — это возрастающая кривая (экспонента), проходящая через точку $(0, 1)$ и расположенная в верхней полуплоскости. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a = \frac{1}{3}$.
Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Так как основание $0 < a = \frac{1}{3} < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения.
• Заметим, что $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$. Это означает, что график этой функции симметричен графику функции $y=3^x$ относительно оси ординат ($Oy$).
• График функции пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке $(0, 1)$, так как $y(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$.
• График не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$). Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Для построения графика найдем несколько контрольных точек, вычислив значения функции для некоторых значений $x$:
при $x = -2$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$;
при $x = -1$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3^1 = 3$;
при $x = 0$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$;
при $x = 1$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3} \approx 0.33$;
при $x = 2$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \approx 0.11$.

Отметим эти точки $(-2, 9)$, $(-1, 3)$, $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{3})$, $(2, \frac{1}{9})$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученная кривая будет являться графиком функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Она будет быстро убывать при $x > 0$ и приближаться к оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ — это убывающая кривая (экспонента), проходящая через точку $(0, 1)$ и расположенная в верхней полуплоскости. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой. График симметричен графику $y=3^x$ относительно оси $Oy$.