Номер 196, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 196, страница 76.

Условие.

196 Сравнить с единицей число:

1) $(0,1)^{\sqrt{2}};

2) $(3,5)^{0,1};

3) $\pi^{-2,7};

4) $\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^{-1,2}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, то функция возрастает. Это значит, что при $x > 0$ будет $a^x > a^0 = 1$, а при $x < 0$ будет $a^x < a^0 = 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция убывает. Это значит, что при $x > 0$ будет $a^x < a^0 = 1$, а при $x < 0$ будет $a^x > a^0 = 1$.

1) Сравнить с единицей число $(0,1)^{\sqrt{2}}$.

Основание $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, функция является убывающей.

Показатель степени $x = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, показатель положительный.

Для убывающей функции с положительным показателем степени значение будет меньше единицы.

Следовательно, $(0,1)^{\sqrt{2}} < 1$.

Ответ: $(0,1)^{\sqrt{2}} < 1$.

2) Сравнить с единицей число $(3,5)^{0,1}$.

Основание $a = 3,5$. Так как $3,5 > 1$, функция является возрастающей.

Показатель степени $x = 0,1$. Так как $0,1 > 0$, показатель положительный.

Для возрастающей функции с положительным показателем степени значение будет больше единицы.

Следовательно, $(3,5)^{0,1} > 1$.

Ответ: $(3,5)^{0,1} > 1$.

3) Сравнить с единицей число $\pi^{-2,7}$.

Основание $a = \pi$. Так как $\pi \approx 3,14 > 1$, функция является возрастающей.

Показатель степени $x = -2,7$. Так как $-2,7 < 0$, показатель отрицательный.

Для возрастающей функции с отрицательным показателем степени значение будет меньше единицы.

Следовательно, $\pi^{-2,7} < 1$.

Ответ: $\pi^{-2,7} < 1$.

4) Сравнить с единицей число $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2}$.

Основание $a = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Сравним числитель и знаменатель. Так как $5 = \sqrt{25}$, а $5 < 25$, то $\sqrt{5} < \sqrt{25} = 5$. Значит, числитель меньше знаменателя, и дробь меньше единицы: $0 < \frac{\sqrt{5}}{5} < 1$. Таким образом, функция является убывающей.

Показатель степени $x = -1,2$. Так как $-1,2 < 0$, показатель отрицательный.

Для убывающей функции с отрицательным показателем степени значение будет больше единицы.

Следовательно, $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2} > 1$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2} > 1$.