Номер 201, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 201, страница 76.

Условие.

201 Построить график функции:

1) $y = 3^x - 2$; 2) $y = (\frac{1}{2})^x + 3$; 3) $y = 2^{x+1}$; 4) $y = 3^{x-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 3^x - 2$

Для построения графика функции $y = 3^x - 2$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим график базовой показательной функции $y_0 = 3^x$. Это возрастающая функция, так как основание $3 > 1$. График проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox).
2. График функции $y = 3^x - 2$ получается из графика $y_0 = 3^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси Oy на 2 единицы вниз.
3. Все точки графика $y_0 = 3^x$ смещаются на 2 единицы вниз. Горизонтальная асимптота также смещается на 2 единицы вниз и становится прямой $y = -2$.

Найдем несколько ключевых точек для построения:

$x$	$y_0 = 3^x$	$y = 3^x - 2$	Точка на графике
-1	$1/3$	$1/3 - 2 = -5/3$	$(-1, -5/3)$
0	1	$1 - 2 = -1$	$(0, -1)$
1	3	$3 - 2 = 1$	$(1, 1)$
2	9	$9 - 2 = 7$	$(2, 7)$

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-2; +\infty)$.
• Горизонтальная асимптота: $y = -2$.

Ответ: График функции $y = 3^x - 2$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=3^x$ на 2 единицы вниз. Кривая возрастает, пересекает ось Oy в точке $(0, -1)$ и приближается к горизонтальной асимптоте $y=-2$ при $x \to -\infty$.

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3$

Для построения графика функции $y = (\frac{1}{2})^x + 3$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим график базовой показательной функции $y_0 = (\frac{1}{2})^x$. Это убывающая функция, так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$. График проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. График функции $y = (\frac{1}{2})^x + 3$ получается из графика $y_0 = (\frac{1}{2})^x$ путем сдвига вдоль оси Oy на 3 единицы вверх.
3. Все точки графика $y_0 = (\frac{1}{2})^x$ смещаются на 3 единицы вверх. Горизонтальная асимптота также смещается на 3 единицы вверх и становится прямой $y = 3$.

Найдем несколько ключевых точек для построения:

$x$	$y_0 = (\frac{1}{2})^x$	$y = (\frac{1}{2})^x + 3$	Точка на графике
-2	4	$4 + 3 = 7$	$(-2, 7)$
-1	2	$2 + 3 = 5$	$(-1, 5)$
0	1	$1 + 3 = 4$	$(0, 4)$
1	$1/2$	$1/2 + 3 = 3.5$	$(1, 3.5)$

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (3; +\infty)$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^x + 3$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=(\frac{1}{2})^x$ на 3 единицы вверх. Кривая убывает, пересекает ось Oy в точке $(0, 4)$ и приближается к горизонтальной асимптоте $y=3$ при $x \to +\infty$.

3) $y = 2^{x+1}$

Для построения графика функции $y = 2^{x+1}$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим график базовой показательной функции $y_0 = 2^x$. Это возрастающая функция (основание $2 > 1$), проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. График функции $y = 2^{x+1}$ получается из графика $y_0 = 2^x$ путем сдвига вдоль оси Ox на 1 единицу влево.
3. Все точки графика $y_0 = 2^x$ смещаются на 1 единицу влево. Горизонтальная асимптота $y = 0$ при этом не изменяется.

Найдем несколько ключевых точек для построения:

$x$	$y = 2^{x+1}$	Точка на графике
-2	$2^{-2+1} = 2^{-1} = 0.5$	$(-2, 0.5)$
-1	$2^{-1+1} = 2^0 = 1$	$(-1, 1)$
0	$2^{0+1} = 2^1 = 2$	$(0, 2)$
1	$2^{1+1} = 2^2 = 4$	$(1, 4)$

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Ответ: График функции $y = 2^{x+1}$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=2^x$ на 1 единицу влево. Кривая возрастает, пересекает ось Oy в точке $(0, 2)$ и приближается к горизонтальной асимптоте $y=0$ при $x \to -\infty$.

4) $y = 3^{x-2}$

Для построения графика функции $y = 3^{x-2}$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим график базовой показательной функции $y_0 = 3^x$. Это возрастающая функция (основание $3 > 1$), проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. График функции $y = 3^{x-2}$ получается из графика $y_0 = 3^x$ путем сдвига вдоль оси Ox на 2 единицы вправо.
3. Все точки графика $y_0 = 3^x$ смещаются на 2 единицы вправо. Горизонтальная асимптота $y = 0$ при этом не изменяется.

Найдем несколько ключевых точек для построения:

$x$	$y = 3^{x-2}$	Точка на графике
0	$3^{0-2} = 3^{-2} = 1/9$	$(0, 1/9)$
1	$3^{1-2} = 3^{-1} = 1/3$	$(1, 1/3)$
2	$3^{2-2} = 3^0 = 1$	$(2, 1)$
3	$3^{3-2} = 3^1 = 3$	$(3, 3)$

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Ответ: График функции $y = 3^{x-2}$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=3^x$ на 2 единицы вправо. Кривая возрастает, проходит через точку $(2, 1)$, пересекает ось Oy в точке $(0, 1/9)$ и приближается к горизонтальной асимптоте $y=0$ при $x \to -\infty$.