Номер 200, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 200, страница 76.

Условие.

200 Решить графически неравенство:

1) $(\frac{1}{3})^x > 1$;

2) $(\frac{1}{2})^x < 1;

3) $5^x > 5$;

4) $5^x < \frac{1}{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для графического решения каждого неравенства необходимо построить графики функций, находящихся в левой и правой частях неравенства, и определить, на каком промежутке один график расположен выше или ниже другого в соответствии со знаком неравенства.

1) $(\frac{1}{3})^x > 1$

Чтобы решить данное неравенство, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = 1$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, поскольку $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

Функция $y_2 = 1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 1)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $(\frac{1}{3})^x = 1$. Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, мы можем записать $1$ как $(\frac{1}{3})^0$. Тогда уравнение примет вид $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^0$, откуда следует, что $x = 0$. Точка пересечения графиков — $(0, 1)$.

Неравенство $(\frac{1}{3})^x > 1$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ расположен выше прямой $y_2 = 1$. Так как функция $y_1$ является убывающей, ее значения будут больше 1 для всех $x$, которые меньше абсциссы точки пересечения. Таким образом, решение неравенства — это интервал, где $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

2) $(\frac{1}{2})^x < 1$

Рассмотрим функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = 1$ и построим их графики в одной системе координат.

Функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — показательная с основанием $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей. График этой функции также проходит через точку $(0, 1)$.

Функция $y_2 = 1$ — это горизонтальная прямая.

Точка пересечения графиков находится из уравнения $(\frac{1}{2})^x = 1$, или $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^0$, откуда $x = 0$.

Мы ищем значения $x$, при которых график $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ лежит ниже прямой $y_2 = 1$. Поскольку функция $y_1$ убывающая, ее значения меньше 1 при значениях аргумента $x$, которые больше абсциссы точки пересечения. Следовательно, решение неравенства — это интервал, где $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) $5^x > 5$

Для решения этого неравенства построим графики функций $y_1 = 5^x$ и $y_2 = 5$.

Функция $y_1 = 5^x$ — показательная с основанием $a=5$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей. Ее график проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 5)$.

Функция $y_2 = 5$ — это горизонтальная прямая.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $5^x = 5$. Так как $5 = 5^1$, получаем $x=1$. Точка пересечения — $(1, 5)$.

Неравенство $5^x > 5$ выполняется, когда график функции $y_1=5^x$ расположен выше прямой $y_2=5$. Поскольку функция $y_1$ возрастающая, ее значения больше 5 при значениях аргумента $x$, которые больше абсциссы точки пересечения. Таким образом, решение неравенства — это интервал, где $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

4) $5^x < \frac{1}{5}$

Построим графики функций $y_1 = 5^x$ и $y_2 = \frac{1}{5}$.

Функция $y_1 = 5^x$ — возрастающая показательная функция, как и в предыдущем пункте.

Функция $y_2 = \frac{1}{5}$ — горизонтальная прямая.

Точка пересечения находится из уравнения $5^x = \frac{1}{5}$. Представим правую часть как степень с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Уравнение примет вид $5^x = 5^{-1}$, откуда $x = -1$. Точка пересечения — $(-1, \frac{1}{5})$.

Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y_1=5^x$ лежит ниже прямой $y_2=\frac{1}{5}$. Так как функция $y_1=5^x$ возрастающая, ее значения меньше $\frac{1}{5}$ при значениях аргумента $x$, которые меньше абсциссы точки пересечения. Следовательно, решение неравенства — это интервал, где $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.