Номер 193, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 193, страница 76.

Условие.

193 С помощью графика функции $y = 3^x$ найти приближённое значение:

1) $\sqrt{3}$;

2) $3^{\frac{2}{3}}$;

3) $\frac{1}{\sqrt{3}};

4) $3^{-1,5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти приближенное значение выражений с помощью графика функции $y = 3^x$, необходимо каждое выражение представить в виде $3^a$. Величина $a$ будет являться значением аргумента $x$. Далее, на графике функции $y = 3^x$ нужно найти точку, у которой абсцисса (координата по оси $x$) равна $a$. Ордината (координата по оси $y$) этой точки и будет искомым приближенным значением выражения.

Для решения задачи мы будем использовать воображаемый график функции $y = 3^x$, который является возрастающей экспоненциальной кривой, проходящей через следующие опорные точки: $(-2, \frac{1}{9})$, $(-1, \frac{1}{3})$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$.

1) $\sqrt{3}$

Сначала представим выражение $\sqrt{3}$ в виде степени с основанием 3. По определению квадратного корня, $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Следовательно, нам нужно найти значение функции $y = 3^x$ при $x = \frac{1}{2} = 0,5$. На оси абсцисс находим точку $x=0,5$. Проводим вертикальную линию от этой точки до пересечения с графиком функции $y=3^x$. Затем от точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси ординат. Полученное значение $y$ будет находиться между $y(0)=3^0=1$ и $y(1)=3^1=3$. Поскольку кривая выпукла вниз, значение будет ближе к 1, чем к 3. Приблизительно, это значение равно 1,7.

Ответ: $\sqrt{3} \approx 1,7$.

2) $3^{\frac{2}{3}}$

Данное выражение уже представлено в виде $3^x$, где $x = \frac{2}{3}$. Для удобства работы с графиком представим $x$ в виде десятичной дроби: $x = \frac{2}{3} \approx 0,67$.

На оси абсцисс находим точку $x \approx 0,67$ (чуть дальше, чем середина отрезка от 0 до 1). Поднимаемся от этой точки вертикально до графика функции и затем движемся горизонтально до оси $y$. Значение будет больше, чем найденное в предыдущем пункте ($3^{0,5} \approx 1,7$), но меньше, чем $3^1=3$. Графически можно оценить это значение примерно как 2,1.

Ответ: $3^{\frac{2}{3}} \approx 2,1$.

3) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Представим данное выражение в виде степени с основанием 3. Используя свойства степеней, получаем: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{-\frac{1}{2}}$.

Таким образом, искомое значение — это ордината точки на графике с абсциссой $x = -\frac{1}{2} = -0,5$. Находим на оси $x$ точку $-0,5$. Она расположена посередине между $-1$ и $0$. Находим соответствующую точку на графике и ее ординату. Это значение будет лежать между $y(-1)=3^{-1}=\frac{1}{3} \approx 0,33$ и $y(0)=3^0=1$. Приближенно, это значение равно 0,6.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,6$.

4) $3^{-1,5}$

Выражение уже представлено в виде $3^x$, где $x = -1,5$.

На оси абсцисс находим точку $x = -1,5$, которая находится ровно посередине между точками $-1$ и $-2$. Находим соответствующую точку на графике функции $y=3^x$ и определяем ее ординату. Это значение будет лежать между $y(-2)=3^{-2}=\frac{1}{9} \approx 0,11$ и $y(-1)=3^{-1}=\frac{1}{3} \approx 0,33$. Графическая оценка дает нам значение примерно 0,2.

Ответ: $3^{-1,5} \approx 0,2$.