Номер 186, страница 71 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 186, страница 71.

Условие.

186 Найти функцию, обратную к данной, её область определения и множество значений:

1) $y=2+\sqrt{x+2}$;

2) $y=2-\sqrt{x+4}$;

3) $y=\sqrt{3-x}-1$;

4) $y=\sqrt{1-x}+3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 2 + \sqrt{x+2}$

Сначала найдём область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$ исходной функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-2, +\infty)$.
Так как значение арифметического квадратного корня неотрицательно, $\sqrt{x+2} \ge 0$. Тогда $y = 2 + \sqrt{x+2} \ge 2 + 0 = 2$. Следовательно, множество значений функции: $E(y) = [2, +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения:
$y = 2 + \sqrt{x+2}$
$y - 2 = \sqrt{x+2}$
При возведении в квадрат необходимо учесть, что $y-2 \ge 0$, то есть $y \ge 2$, что совпадает с множеством значений $E(y)$.
$(y-2)^2 = x+2$
$x = (y-2)^2 - 2$
Заменяя $x$ на $y$ и $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $y = (x-2)^2 - 2$.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции: $D(y_{обр}) = E(y) = [2, +\infty)$.
Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции: $E(y_{обр}) = D(y) = [-2, +\infty)$.

Ответ: обратная функция $y = (x-2)^2 - 2$, область определения $D(y) = [2, +\infty)$, множество значений $E(y) = [-2, +\infty)$.

2) $y = 2 - \sqrt{x+4}$

Найдём область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$ исходной функции. Подкоренное выражение: $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$. Область определения: $D(y) = [-4, +\infty)$.
Так как $\sqrt{x+4} \ge 0$, то $-\sqrt{x+4} \le 0$. Тогда $y = 2 - \sqrt{x+4} \le 2 - 0 = 2$. Множество значений: $E(y) = (-\infty, 2]$.

Выразим $x$ через $y$:
$y = 2 - \sqrt{x+4}$
$\sqrt{x+4} = 2 - y$
Условие для возведения в квадрат: $2 - y \ge 0$, то есть $y \le 2$, что соответствует $E(y)$.
$x+4 = (2-y)^2$
$x = (2-y)^2 - 4 = (y-2)^2 - 4$
Обратная функция: $y = (x-2)^2 - 4$.

Область определения обратной функции: $D(y_{обр}) = E(y) = (-\infty, 2]$.
Множество значений обратной функции: $E(y_{обр}) = D(y) = [-4, +\infty)$.

Ответ: обратная функция $y = (x-2)^2 - 4$, область определения $D(y) = (-\infty, 2]$, множество значений $E(y) = [-4, +\infty)$.

3) $y = \sqrt{3-x} - 1$

Найдём область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$ исходной функции. Подкоренное выражение: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$. Область определения: $D(y) = (-\infty, 3]$.
Так как $\sqrt{3-x} \ge 0$, то $y = \sqrt{3-x} - 1 \ge 0 - 1 = -1$. Множество значений: $E(y) = [-1, +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:
$y = \sqrt{3-x} - 1$
$y+1 = \sqrt{3-x}$
Условие для возведения в квадрат: $y+1 \ge 0$, то есть $y \ge -1$, что соответствует $E(y)$.
$(y+1)^2 = 3-x$
$x = 3 - (y+1)^2$
Обратная функция: $y = 3 - (x+1)^2$.

Область определения обратной функции: $D(y_{обр}) = E(y) = [-1, +\infty)$.
Множество значений обратной функции: $E(y_{обр}) = D(y) = (-\infty, 3]$.

Ответ: обратная функция $y = 3 - (x+1)^2$, область определения $D(y) = [-1, +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty, 3]$.

4) $y = \sqrt{1-x} + 3$

Найдём область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$ исходной функции. Подкоренное выражение: $1-x \ge 0$, откуда $x \le 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty, 1]$.
Так как $\sqrt{1-x} \ge 0$, то $y = \sqrt{1-x} + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Множество значений: $E(y) = [3, +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:
$y = \sqrt{1-x} + 3$
$y-3 = \sqrt{1-x}$
Условие для возведения в квадрат: $y-3 \ge 0$, то есть $y \ge 3$, что соответствует $E(y)$.
$(y-3)^2 = 1-x$
$x = 1 - (y-3)^2$
Обратная функция: $y = 1 - (x-3)^2$.

Область определения обратной функции: $D(y_{обр}) = E(y) = [3, +\infty)$.
Множество значений обратной функции: $E(y_{обр}) = D(y) = (-\infty, 1]$.

Ответ: обратная функция $y = 1 - (x-3)^2$, область определения $D(y) = [3, +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty, 1]$.