Номер 3, страница 70 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Проверь себя к главе 2 - номер 3, страница 70.

Условие.

3 Решить уравнение:

1) $\sqrt[3]{x-3} = 5;$

2) $\sqrt{3-x-x^2} = x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

1) $\sqrt[3]{x-3} = 5$

Это иррациональное уравнение с корнем нечетной степени (кубическим корнем). Область допустимых значений для такого уравнения — все действительные числа, так как кубический корень можно извлечь из любого действительного числа.

Для решения возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt[3]{x-3})^3 = 5^3$

Упростим полученное выражение:
$x - 3 = 125$

Теперь решим простое линейное уравнение относительно $x$, перенеся $-3$ в правую часть с противоположным знаком:
$x = 125 + 3$
$x = 128$

Поскольку возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием, проверка не обязательна, но мы можем ее выполнить для уверенности. Подставим найденное значение $x=128$ в исходное уравнение:
$\sqrt[3]{128-3} = \sqrt[3]{125} = 5$.
$5 = 5$. Равенство верно.

Ответ: 128

2) $\sqrt{3-x-x^2} = x$

Это иррациональное уравнение с корнем четной степени (квадратным корнем). Решение такого уравнения требует учета области допустимых значений (ОДЗ) или обязательной проверки найденных корней.

Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ 3-x-x^2 = x^2 \end{cases}$

Первое условие $x \ge 0$ возникает из-за того, что значение квадратного корня (арифметического) не может быть отрицательным. Второе уравнение в системе получается путем возведения обеих частей исходного уравнения в квадрат. При выполнении условия $x \ge 0$, подкоренное выражение $3-x-x^2$ будет равно $x^2$, то есть неотрицательному числу, поэтому отдельное условие $3-x-x^2 \ge 0$ можно не записывать.

Решим второе уравнение системы:
$3 - x - x^2 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 + x - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 0$ из нашей системы.
Для $x_1 = -1.5$: условие $-1.5 \ge 0$ не выполняется. Следовательно, это посторонний корень.
Для $x_2 = 1$: условие $1 \ge 0$ выполняется. Этот корень подходит.

Таким образом, решением исходного уравнения является только $x=1$.

Ответ: 1