Номер 185, страница 71 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 185, страница 71.

Условие.

185 Являются ли заданные функции взаимно обратными:

1) $y = \frac{10 - 3x}{x - 4}$ и $y = \frac{4x + 10}{x + 3}$;

2) $y = \frac{3x - 6}{3x - 1}$ и $y = \frac{6 - x}{3 - 3x}$;

3) $y = 5 (1 - x)^{-1}$ и $y = (5 - x) \cdot x^{-1}$;

4) $y = \frac{2 - x}{2 + x}$ и $y = \frac{2(x - 1)}{1 + x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы проверить, являются ли функции $y = f(x) = \frac{10 - 3x}{x - 4}$ и $y = g(x) = \frac{4x + 10}{x + 3}$ взаимно обратными, найдем функцию, обратную к $f(x)$.

Для этого в уравнении $y = \frac{10 - 3x}{x - 4}$ выразим $x$ через $y$:
$y(x - 4) = 10 - 3x$
$yx - 4y = 10 - 3x$
$yx + 3x = 4y + 10$
$x(y + 3) = 4y + 10$
$x = \frac{4y + 10}{y + 3}$

Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде:
$y = \frac{4x + 10}{x + 3}$

Полученная функция совпадает с функцией $g(x)$. Следовательно, данные функции являются взаимно обратными.

Ответ: Да, являются.

2)

Проверим функции $y = f(x) = \frac{3x - 6}{3x - 1}$ и $y = g(x) = \frac{6 - x}{3 - 3x}$. Найдем функцию, обратную к $f(x)$.

Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \frac{3x - 6}{3x - 1}$:
$y(3x - 1) = 3x - 6$
$3xy - y = 3x - 6$
$3xy - 3x = y - 6$
$x(3y - 3) = y - 6$
$x = \frac{y - 6}{3y - 3}$

Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $y = \frac{x - 6}{3x - 3}$.

Теперь сравним полученную функцию с $g(x) = \frac{6 - x}{3 - 3x}$. Преобразуем $g(x)$:
$g(x) = \frac{6 - x}{3 - 3x} = \frac{-(x - 6)}{- (3x - 3)} = \frac{x - 6}{3x - 3}$

Функции совпадают. Следовательно, данные функции являются взаимно обратными.

Ответ: Да, являются.

3)

Проверим функции $y = f(x) = 5(1 - x)^{-1}$ и $y = g(x) = (5 - x) \cdot x^{-1}$.
Перепишем их в виде дробей: $f(x) = \frac{5}{1 - x}$ и $g(x) = \frac{5 - x}{x}$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. Из $y = \frac{5}{1 - x}$ выразим $x$:
$y(1 - x) = 5$
$y - yx = 5$
$y - 5 = yx$
$x = \frac{y - 5}{y}$

Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $y = \frac{x - 5}{x}$.

Сравним полученную функцию с $g(x) = \frac{5 - x}{x}$.
$\frac{x - 5}{x} \neq \frac{5 - x}{x}$, так как $\frac{5 - x}{x} = -\frac{x - 5}{x}$.
Функции не совпадают. Следовательно, данные функции не являются взаимно обратными.

Ответ: Нет, не являются.

4)

Проверим функции $y = f(x) = \frac{2 - x}{2 + x}$ и $y = g(x) = \frac{2(x - 1)}{1 + x}$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. Из $y = \frac{2 - x}{2 + x}$ выразим $x$:
$y(2 + x) = 2 - x$
$2y + yx = 2 - x$
$yx + x = 2 - 2y$
$x(y + 1) = 2(1 - y)$
$x = \frac{2(1 - y)}{y + 1}$

Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $y = \frac{2(1 - x)}{1 + x}$.

Сравним полученную функцию с $g(x) = \frac{2(x - 1)}{1 + x}$.
$\frac{2(1 - x)}{1 + x} = \frac{-2(x - 1)}{1 + x}$.
Так как $\frac{-2(x - 1)}{1 + x} \neq \frac{2(x - 1)}{1 + x}$ для $x \neq 1$, функции не являются тождественно равными. Следовательно, они не являются взаимно обратными.

Ответ: Нет, не являются.