Номер 2, страница 70 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Проверь себя к главе 2 - номер 2, страница 70.

Условие.

Построить график функции:

1) $y = \sqrt[3]{x+1}$; 2) $y = 2x^{-2}$; 3) $y = \frac{x^4}{2}$.

Для каждой функции указать область определения и значения x, при которых $y > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

1) $y = \sqrt[3]{x+1}$

Для построения графика этой функции, рассмотрим базовую функцию $y = \sqrt[3]{x}$. График функции $y = \sqrt[3]{x+1}$ получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

• При $x = -9$, $y = \sqrt[3]{-9+1} = \sqrt[3]{-8} = -2$.
• При $x = -2$, $y = \sqrt[3]{-2+1} = \sqrt[3]{-1} = -1$.
• При $x = -1$, $y = \sqrt[3]{-1+1} = \sqrt[3]{0} = 0$. (Точка пересечения с осью Ox)
• При $x = 0$, $y = \sqrt[3]{0+1} = \sqrt[3]{1} = 1$. (Точка пересечения с осью Oy)
• При $x = 7$, $y = \sqrt[3]{7+1} = \sqrt[3]{8} = 2$.

График функции представляет собой кривую, проходящую через эти точки. Он возрастает на всей области определения.

Область определения: Кубический корень определен для любого действительного числа. Поэтому выражение $x+1$ может принимать любые значения. Область определения функции — все действительные числа. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Значения x, при которых y > 0:

Решим неравенство $y > 0$:

$\sqrt[3]{x+1} > 0$

Возведем обе части неравенства в куб (так как функция $f(t)=t^3$ возрастающая, знак неравенства сохраняется):

$x+1 > 0^3$

$x+1 > 0$

$x > -1$

Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Значения $x$, при которых $y>0$: $x \in (-1; +\infty)$.

---

2) $y = 2x^{-2}$

Перепишем функцию в более привычном виде: $y = \frac{2}{x^2}$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Oy. Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{2}{(-x)^2} = \frac{2}{x^2} = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось Oy ($x=0$) — вертикальной асимптотой.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

• При $x = \pm 1$, $y = \frac{2}{1^2} = 2$.
• При $x = \pm 2$, $y = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
• При $x = \pm 0.5$, $y = \frac{2}{(0.5)^2} = \frac{2}{0.25} = 8$.

График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и втором координатных квадрантах, симметричных относительно оси Oy.

Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю. $x^2 \neq 0$, откуда следует $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Значения x, при которых y > 0:

Решим неравенство $y > 0$:

$\frac{2}{x^2} > 0$

Числитель $2$ положителен. Знаменатель $x^2$ положителен для любого $x$ из области определения (т.е. при $x \neq 0$). Следовательно, вся дробь всегда положительна.

Таким образом, $y > 0$ для всех $x$ из области определения функции, т.е. при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Значения $x$, при которых $y>0$: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

---

3) $y = \frac{x^4}{2}$

Это степенная функция. Её график похож на параболу $y=x^2$, но "более плоский" у вершины и растет быстрее при удалении от нее. График функции $y = \frac{x^4}{2}$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси Oy. Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{(-x)^4}{2} = \frac{x^4}{2} = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

• При $x = 0$, $y = \frac{0^4}{2} = 0$.
• При $x = \pm 1$, $y = \frac{1^4}{2} = 0.5$.
• При $x = \pm 2$, $y = \frac{2^4}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

График представляет собой кривую, проходящую через начало координат, симметричную относительно оси Oy и расположенную в верхней полуплоскости.

Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Значения x, при которых y > 0:

Решим неравенство $y > 0$:

$\frac{x^4}{2} > 0$

Умножим обе части на 2:

$x^4 > 0$

Четвертая степень любого ненулевого числа является положительной. Выражение $x^4$ равно нулю только при $x=0$. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Значения $x$, при которых $y>0$: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.