Номер 182, страница 70 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 182, страница 70.

Условие.

182 Являются ли равносильными уравнения:

1) $2^{x^2+3x} = 2^2$ и $x^2 + 3x = 2;$

2) $\sqrt{x^2+3x} = \sqrt{2}$ и $x^2 + 3x = 2;$

3) $\sqrt[3]{x+18} = \sqrt[3]{2-x}$ и $x+18 = 2 - x?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Чтобы определить, являются ли данные пары уравнений равносильными, необходимо проанализировать преобразования, которые переводят одно уравнение в другое, и сравнить их множества решений.

1) $2^{x^2+3x} = 2^2$ и $x^2+3x = 2$

Первое уравнение $2^{x^2+3x} = 2^2$ является показательным. Поскольку основания степеней ($a=2$) одинаковы, положительны и не равны единице, равенство достигается тогда и только тогда, когда равны их показатели. Это следует из монотонности показательной функции $y=2^t$. Таким образом, переход от уравнения $2^{x^2+3x} = 2^2$ к уравнению $x^2+3x=2$ является равносильным преобразованием.

Области определения обоих уравнений совпадают (все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$), поэтому при преобразовании не происходит ни потери корней, ни приобретения посторонних.

Следовательно, данные уравнения имеют одно и то же множество решений.

Ответ: Да, уравнения являются равносильными.

2) $\sqrt{x^2+3x} = \sqrt{2}$ и $x^2+3x = 2$

Первое уравнение $\sqrt{x^2+3x} = \sqrt{2}$ является иррациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^2+3x \ge 0$.

Для решения первого уравнения возведем обе его части в квадрат. Это преобразование является равносильным, так как обе части уравнения по определению арифметического квадратного корня неотрицательны. Получаем:

$(\sqrt{x^2+3x})^2 = (\sqrt{2})^2$

$x^2+3x = 2$

Мы получили второе уравнение. Теперь нужно убедиться, что их множества решений совпадают. Любой корень второго уравнения $x^2+3x=2$ обращает левую часть в 2. Так как $2 \ge 0$, то условие ОДЗ $x^2+3x \ge 0$ для этих корней выполняется автоматически. Это означает, что все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения.

Обратно, так как мы использовали равносильное преобразование (возведение в квадрат неотрицательных частей), то все корни первого уравнения являются корнями второго. Таким образом, множества решений обоих уравнений совпадают.

Ответ: Да, уравнения являются равносильными.

3) $\sqrt[3]{x+18} = \sqrt[3]{2-x}$ и $x+18 = 2-x$

Первое уравнение $\sqrt[3]{x+18} = \sqrt[3]{2-x}$ содержит корни нечетной (третьей) степени. Кубический корень определен для любого действительного числа, поэтому область определения этого уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Для решения этого уравнения возведем обе его части в третью степень. Функция $y=t^3$ является строго монотонной на всей числовой прямой, поэтому такое преобразование является равносильным. Это значит, что уравнение $A=B$ равносильно уравнению $A^3=B^3$.

$(\sqrt[3]{x+18})^3 = (\sqrt[3]{2-x})^3$

$x+18 = 2-x$

В результате равносильного преобразования мы получили второе уравнение. Область определения второго уравнения (линейного) также все действительные числа. Поскольку одно уравнение получено из другого равносильным преобразованием, их множества решений совпадают.

Ответ: Да, уравнения являются равносильными.