Номер 176, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 176, страница 69.

Условие.

176 На одном рисунке построить графики функций $y = x^2$ и $y = x^{\sqrt{x}}$. Сравнить значения этих функций при $x$, равном 0; 0,5; 1; $\frac{3}{2}$; 2; 3; 4; 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Построение графиков

Для построения графиков функций $y = x^2$ и $y = x^{\sqrt{x}}$ на одной координатной плоскости, необходимо сначала определить их свойства.

1. Функция $y = x^2$ — это квадратичная функция, график которой — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Поскольку вторая функция определена для $x \ge 0$, мы рассматриваем только правую ветвь параболы.

2. Функция $y = x^{\sqrt{x}}$ — это степенная функция с переменным показателем. Область определения функции — $x \ge 0$. В точке $x=0$ возникает неопределенность вида $0^0$. Предел функции в этой точке справа равен 1, то есть $\lim_{x \to 0^+} x^{\sqrt{x}} = 1$. График этой функции начинается в точке $(0, 1)$. Функция имеет локальный минимум при $x = e^{-2} \approx 0.14$.

На рисунке ниже синим цветом показан график функции $y = x^2$, а красным — график функции $y = x^{\sqrt{x}}$.

Ответ:

Графики функций $y = x^2$ (синяя линия) и $y = x^{\sqrt{x}}$ (красная линия) построены на рисунке выше. Графики пересекаются в двух точках: $(1, 1)$ и $(4, 16)$.

Сравнение значений функций

Сравним значения функций $y_1 = x^2$ и $y_2 = x^{\sqrt{x}}$ в заданных точках.

При $x = 0$:
$y_1 = 0^2 = 0$
$y_2 = 0^{\sqrt{0}} = 0^0$. Данное выражение является неопределенностью. Однако предел $\lim_{x \to 0^+} x^{\sqrt{x}} = 1$. Примем это значение.
Сравнение: $0 < 1$, следовательно $y_1 < y_2$.

При $x = 0.5$:
$y_1 = (0.5)^2 = 0.25$
$y_2 = (0.5)^{\sqrt{0.5}} \approx (0.5)^{0.707} \approx 0.613$
Сравнение: $0.25 < 0.613$, следовательно $y_1 < y_2$.

При $x = 1$:
$y_1 = 1^2 = 1$
$y_2 = 1^{\sqrt{1}} = 1^1 = 1$
Сравнение: $1 = 1$, следовательно $y_1 = y_2$.

При $x = \frac{3}{2} = 1.5$:
$y_1 = (1.5)^2 = 2.25$
$y_2 = (1.5)^{\sqrt{1.5}} \approx (1.5)^{1.225} \approx 1.632$
Сравнение: $2.25 > 1.632$, следовательно $y_1 > y_2$.

При $x = 2$:
$y_1 = 2^2 = 4$
$y_2 = 2^{\sqrt{2}} \approx 2^{1.414} \approx 2.665$
Сравнение: $4 > 2.665$, следовательно $y_1 > y_2$.

При $x = 3$:
$y_1 = 3^2 = 9$
$y_2 = 3^{\sqrt{3}} \approx 3^{1.732} \approx 6.705$
Сравнение: $9 > 6.705$, следовательно $y_1 > y_2$.

При $x = 4$:
$y_1 = 4^2 = 16$
$y_2 = 4^{\sqrt{4}} = 4^2 = 16$
Сравнение: $16 = 16$, следовательно $y_1 = y_2$.

При $x = 5$:
$y_1 = 5^2 = 25$
$y_2 = 5^{\sqrt{5}} \approx 5^{2.236} \approx 36.554$
Сравнение: $25 < 36.554$, следовательно $y_1 < y_2$.

Ответ:

Результаты сравнения значений функций $y_1 = x^2$ и $y_2 = x^{\sqrt{x}}$ в заданных точках:
При $x=0$: $x^2 < x^{\sqrt{x}}$ ( $0 < 1$ )
При $x=0.5$: $x^2 < x^{\sqrt{x}}$ ( $0.25 < 0.613$ )
При $x=1$: $x^2 = x^{\sqrt{x}}$ ( $1 = 1$ )
При $x=1.5$: $x^2 > x^{\sqrt{x}}$ ( $2.25 > 1.632$ )
При $x=2$: $x^2 > x^{\sqrt{x}}$ ( $4 > 2.665$ )
При $x=3$: $x^2 > x^{\sqrt{x}}$ ( $9 > 6.705$ )
При $x=4$: $x^2 = x^{\sqrt{x}}$ ( $16 = 16$ )
При $x=5$: $x^2 < x^{\sqrt{x}}$ ( $25 < 36.554$ )