Номер 205, страница 77 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 205, страница 77.

Условие.

205 Построить график функции:

1) $y = 2^{|x|}$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}$;

3) $y = |3^x - 2|$;

4) $y = 2 - 3^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 2^{|x|}$

Функция $y = 2^{|x|}$ является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Построение можно разбить на два случая в зависимости от знака $x$:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция. График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x$. Это стандартная убывающая показательная функция. График проходит через точки $(-1, 2)$, $(-2, 4)$.

Таким образом, для построения графика мы можем построить ветвь $y = 2^x$ для $x \ge 0$ и затем отразить ее симметрично относительно оси OY, чтобы получить вторую ветвь для $x < 0$. Обе ветви "стыкуются" в точке $(0, 1)$, которая является точкой минимума функции.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком функции $y=2^x$, а для $x < 0$ — с графиком функции $y=(\frac{1}{2})^x$. Минимальное значение функции равно 1 и достигается при $x=0$.

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}$

Аналогично предыдущему случаю, функция $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$ является четной, так как $y(-x) = (\frac{1}{3})^{|-x|} = (\frac{1}{3})^{|x|} = y(x)$. Ее график также симметричен относительно оси OY.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (\frac{1}{3})^x$. Это стандартная убывающая показательная функция. График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 1/3)$, $(2, 1/9)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = (\frac{1}{3})^{-x} = (3^{-1})^{-x} = 3^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция. График проходит через точки $(-1, 3)$, $(-2, 9)$.

Для построения графика мы строим ветвь $y = (\frac{1}{3})^x$ для $x \ge 0$ (убывающая кривая) и отражаем ее симметрично относительно оси OY, получая для $x < 0$ ветвь, совпадающую с графиком $y = 3^x$ (возрастающая кривая). Точка $(0, 1)$ является точкой минимума.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком функции $y=(\frac{1}{3})^x$, а для $x < 0$ — с графиком функции $y=3^x$. Минимальное значение функции равно 1 при $x=0$.

3) $y = |3^x - 2|$

Для построения графика функции $y = |3^x - 2|$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график вспомогательной функции $y_1 = 3^x$. Это стандартная показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Затем построим график функции $y_2 = 3^x - 2$. Он получается из графика $y_1 = 3^x$ сдвигом на 2 единицы вниз по оси OY. Горизонтальная асимптота смещается на $y=-2$. График пересекает ось OY в точке $(0, 3^0 - 2) = (0, -1)$ и ось OX в точке, где $3^x - 2 = 0$, то есть $3^x = 2$, откуда $x = \log_3 2$.
3. Наконец, строим график исходной функции $y = |3^x - 2|$. Для этого часть графика $y_2 = 3^x - 2$, которая лежит ниже оси OX (где $y_2 < 0$), мы отражаем симметрично относительно оси OX. Часть графика, которая лежит выше или на оси OX, остается без изменений.
   • Часть графика $y_2$ при $x < \log_3 2$ лежит ниже оси OX, ее мы отражаем вверх.
   • Часть графика $y_2$ при $x \ge \log_3 2$ лежит выше оси OX, ее мы оставляем на месте.

В результате получаем график, который имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$. График пересекает ось OY в точке $(0, |3^0 - 2|) = (0, 1)$. Он касается оси OX в точке $(\log_3 2, 0)$, где имеет излом (острую вершину). При $x \to \infty$, $y \to \infty$.

Ответ: График получается из графика $y = 3^x - 2$ путем симметричного отражения его отрицательной части ($y < 0$) относительно оси OX. График имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$ и точку излома $(\log_3 2, 0)$.

4) $y = 2 - 3^x$

Для построения графика функции $y = 2 - 3^x$ также воспользуемся преобразованиями.

1. Начнем с базового графика $y_1 = 3^x$. Это возрастающая показательная кривая, проходящая через $(0, 1)$ с асимптотой $y=0$.
2. Построим график функции $y_2 = -3^x$. Он получается из графика $y_1 = 3^x$ путем симметричного отражения относительно оси OX. Это будет убывающая кривая, проходящая через $(0, -1)$ с той же асимптотой $y=0$.
3. Теперь построим итоговый график $y = -3^x + 2$ (что то же самое, что и $y = 2 - 3^x$). Он получается из графика $y_2 = -3^x$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси OY.
   • Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=2$.
   • Точка пересечения с осью OY: $y = 2 - 3^0 = 2 - 1 = 1$. То есть, точка $(0, 1)$.
   • Точка пересечения с осью OX: $2 - 3^x = 0 \Rightarrow 3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$. То есть, точка $(\log_3 2, 0)$.

Функция является убывающей на всей области определения. При $x \to -\infty$, $3^x \to 0$, и $y \to 2$. При $x \to \infty$, $3^x \to \infty$, и $y \to -\infty$.

Ответ: График функции получается из графика $y=3^x$ путем его отражения относительно оси OX и последующего сдвига на 2 единицы вверх. Это убывающая функция, имеющая горизонтальную асимптоту $y=2$, пересекающая ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точке $(\log_3 2, 0)$.