Номер 211, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 211, страница 79.

Условие.

211 1) $3^{2x-1} + 3^{2x} = 108;$

2) $2^{3x+2} - 2^{3x-2} = 30;$

3) $2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^x = 28;$

4) $3^{x-1} - 3^x + 3^{x+1} = 63.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3^{2x - 1} + 3^{2x} = 108$
Преобразуем уравнение, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$3^{2x} \cdot 3^{-1} + 3^{2x} = 108$
Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:
$3^{2x} (3^{-1} + 1) = 108$
Упростим выражение в скобках: $3^{-1} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.
$3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 108$
Теперь найдем $3^{2x}$:
$3^{2x} = 108 \cdot \frac{3}{4}$
$3^{2x} = 27 \cdot 3$
$3^{2x} = 81$
Представим 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.
$3^{2x} = 3^4$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: 2.

2) $2^{3x + 2} - 2^{3x - 2} = 30$
Преобразуем уравнение, используя свойства степеней.
$2^{3x} \cdot 2^2 - 2^{3x} \cdot 2^{-2} = 30$
Вынесем общий множитель $2^{3x}$ за скобки:
$2^{3x} (2^2 - 2^{-2}) = 30$
Упростим выражение в скобках: $2^2 - 2^{-2} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}$.
$2^{3x} \cdot \frac{15}{4} = 30$
Теперь найдем $2^{3x}$:
$2^{3x} = 30 \cdot \frac{4}{15}$
$2^{3x} = 2 \cdot 4$
$2^{3x} = 8$
Представим 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.
$2^{3x} = 2^3$
Приравниваем показатели степеней:
$3x = 3$
$x = 1$
Ответ: 1.

3) $2^{x + 1} + 2^{x - 1} + 2^x = 28$
Преобразуем уравнение, используя свойства степеней.
$2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} + 2^x = 28$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x (2 + 2^{-1} + 1) = 28$
Упростим выражение в скобках: $2 + \frac{1}{2} + 1 = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
$2^x \cdot \frac{7}{2} = 28$
Теперь найдем $2^x$:
$2^x = 28 \cdot \frac{2}{7}$
$2^x = 4 \cdot 2$
$2^x = 8$
Представим 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.
$2^x = 2^3$
Приравниваем показатели степеней:
$x = 3$
Ответ: 3.

4) $3^{x - 1} - 3^x + 3^{x + 1} = 63$
Преобразуем уравнение, используя свойства степеней.
$3^x \cdot 3^{-1} - 3^x + 3^x \cdot 3^1 = 63$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x (3^{-1} - 1 + 3) = 63$
Упростим выражение в скобках: $\frac{1}{3} - 1 + 3 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1+6}{3} = \frac{7}{3}$.
$3^x \cdot \frac{7}{3} = 63$
Теперь найдем $3^x$:
$3^x = 63 \cdot \frac{3}{7}$
$3^x = 9 \cdot 3$
$3^x = 27$
Представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.
$3^x = 3^3$
Приравниваем показатели степеней:
$x = 3$
Ответ: 3.