Номер 235, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 235, страница 84.

Условие.

235 При каких значениях x значения функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ больше значений функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 12?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = (\frac{1}{4})^x$ больше значений функции $y = (\frac{1}{2})^x + 12$, необходимо решить следующее показательное неравенство:

$(\frac{1}{4})^x > (\frac{1}{2})^x + 12$

Приведем показательную функцию в левой части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$:

$(\frac{1}{4})^x = ((\frac{1}{2})^2)^x = (\frac{1}{2})^{2x}$

Теперь неравенство выглядит так:

$(\frac{1}{2})^{2x} > (\frac{1}{2})^x + 12$

Для решения этого неравенства введем замену. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$. После замены мы получаем квадратное неравенство:

$t^2 > t + 12$

$t^2 - t - 12 > 0$

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - t - 12 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$t_1 = -3$, $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - t - 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 12 > 0$ выполняется при $t < -3$ или $t > 4$.

Учитывая ранее введенное ограничение $t > 0$, отбрасываем решение $t < -3$. Остается только одно решение:

$t > 4$

Теперь выполним обратную замену, подставив $(\frac{1}{2})^x$ вместо $t$:

$(\frac{1}{2})^x > 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:

$4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$

Подставим это в неравенство:

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^{-2}$

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), показательная функция $y = (\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x < -2$

Ответ: $x < -2$, или в виде интервала $x \in (-\infty; -2)$.