Номер 263, страница 89 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 263, страница 89.

Условие.

263 Построить график функции:

1) $y = 2^{x + |x|}$;

2) $y = |3^{|x|} - 3|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 2^{x + |x|}$

Для построения графика данной функции необходимо раскрыть модуль в показателе степени. Определение модуля числа:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два промежутка для переменной $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

На этом промежутке $|x| = x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2^{x+x} = 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$.

Следовательно, при $x \ge 0$ (в правой полуплоскости, включая ось ординат) график функции совпадает с графиком показательной функции $y = 4^x$. Эта часть графика проходит через точку $(0, 1)$, так как $y(0) = 4^0 = 1$, и, например, через точку $(1, 4)$, так как $y(1) = 4^1 = 4$.

Случай 2: $x < 0$.

На этом промежутке $|x| = -x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2^{x+(-x)} = 2^{x-x} = 2^0 = 1$.

Следовательно, при $x < 0$ (в левой полуплоскости) график функции является горизонтальной прямой $y=1$.

Итоговый график.

Объединяем результаты. График состоит из двух частей, которые соединяются в точке $(0, 1)$:

1. Для $x < 0$ — это горизонтальный луч $y=1$.

2. Для $x \ge 0$ — это часть графика показательной функции $y=4^x$.

Поскольку в точке $x=0$ значение функции по первой формуле равно $1$, а по второй $4^0=1$, график является непрерывным. В точке $(0, 1)$ происходит излом графика.

Ответ: График функции представляет собой горизонтальный луч $y=1$ на промежутке $(-\infty, 0]$ и ветвь показательной функции $y=4^x$ на промежутке $(0, +\infty)$.

2) $y = |3^{|x|} - 3|$

Построение графика этой функции удобно выполнить в несколько этапов, последовательно преобразуя график более простой функции.

Шаг 1. Построим график функции $y_1 = 3^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$.

Шаг 2. Построим график функции $y_2 = 3^{|x|}$. Это преобразование вида $y=f(|x|)$. Для этого часть графика $y_1=3^x$ при $x \ge 0$ сохраняется, а затем симметрично отражается относительно оси $Oy$ в левую полуплоскость. Полученная функция $y_2$ является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$. График имеет точку минимума $(0, 1)$ и состоит из двух ветвей: $y=3^x$ при $x \ge 0$ и $y=3^{-x}$ при $x < 0$.

Шаг 3. Построим график функции $y_3 = 3^{|x|} - 3$. Это преобразование вида $y=f(x)-a$. Для этого сдвигаем график $y_2$ на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Точка минимума $(0, 1)$ смещается в точку $(0, -2)$. Найдем нули этой функции (точки пересечения с осью $Ox$):

$3^{|x|} - 3 = 0 \implies 3^{|x|} = 3^1 \implies |x| = 1$.

Отсюда $x=1$ и $x=-1$. Таким образом, график $y_3$ пересекает ось абсцисс в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

Шаг 4. Построим итоговый график $y = |3^{|x|} - 3| = |y_3|$. Это преобразование вида $y=|f(x)|$. Для этого часть графика $y_3$, расположенную выше оси $Ox$ (где $y_3 \ge 0$), оставляем без изменений, а часть, расположенную ниже оси $Ox$ (где $y_3 < 0$), симметрично отражаем относительно оси $Ox$.

Часть графика $y_3$, которая находится ниже оси $Ox$, соответствует интервалу $(-1, 1)$. При отражении точка минимума $(0, -2)$ переходит в точку локального максимума $(0, 2)$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ остаются на месте и становятся точками "излома" графика.

Итоговый график.

График симметричен относительно оси $Oy$. Он имеет две точки излома на оси абсцисс: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. На интервале $(-1, 1)$ график представляет собой кривую, выпуклую вверх, с точкой локального максимума $(0, 2)$. При $|x| \ge 1$ график состоит из двух ветвей, уходящих вверх, совпадающих с графиком $y=3^{|x|}-3$.

Ответ: График функции $y = |3^{|x|} - 3|$ симметричен относительно оси $Oy$. Он имеет локальный максимум в точке $(0, 2)$ и две точки излома в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. График можно описать кусочно-заданной функцией: $y = \begin{cases} 3^{-x} - 3, & \text{если } x \le -1 \\ 3 - 3^{-x}, & \text{если } -1 < x < 0 \\ 3 - 3^x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 3^x - 3, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.