Номер 145, страница 59 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 145, страница 59.

Условие.

145 1) $2x - 1 = 4 - 1.5x$ и $3.5x - 5 = 0;$

2) $x (x - 1) = 2x + 5$ и $x^2 - 3x - 5 = 0;$

3) $2^{3x + 1} = 2^{-3}$ и $3x + 1 = -3;$

4) $\sqrt{x + 2} = 3$ и $x + 2 = 9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы определить, являются ли уравнения равносильными, необходимо найти их корни и сравнить множества решений. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Решим первое уравнение: $2x - 1 = 4 - 1,5x$.

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x + 1,5x = 4 + 1$

$3,5x = 5$

$x = \frac{5}{3,5} = \frac{5}{7/2} = 5 \cdot \frac{2}{7} = \frac{10}{7}$

Решим второе уравнение: $3,5x - 5 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$3,5x = 5$

$x = \frac{5}{3,5} = \frac{10}{7}$

Множества решений обоих уравнений совпадают и состоят из одного числа: $\{\frac{10}{7}\}$. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: уравнения равносильны.

2) Проверим равносильность уравнений $x(x - 1) = 2x + 5$ и $x^2 - 3x - 5 = 0$.

Преобразуем первое уравнение. Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - x = 2x + 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - x - 2x - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 3x - 5 = 0$

В результате тождественных преобразований мы получили второе уравнение. Это означает, что любое число, являющееся корнем первого уравнения, является и корнем второго, и наоборот. Таким образом, множества их решений совпадают без необходимости находить сами корни.

Ответ: уравнения равносильны.

3) Рассмотрим пару уравнений: $2^{3x+1} = 2^{-3}$ и $3x + 1 = -3$.

Первое уравнение является показательным. Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны (равны 2), то для равенства выражений необходимо, чтобы их показатели были равны. Это преобразование является равносильным, так как показательная функция $y=a^t$ (где $a>0, a\neq1$) является монотонной.

Приравняем показатели степеней:

$3x + 1 = -3$

В результате мы получили в точности второе уравнение. Следовательно, уравнения имеют одинаковые множества решений.

Решим полученное линейное уравнение:

$3x = -3 - 1$

$3x = -4$

$x = -\frac{4}{3}$

Оба уравнения имеют один и тот же корень $x = -\frac{4}{3}$.

Ответ: уравнения равносильны.

4) Проверим на равносильность уравнения $\sqrt{x+2} = 3$ и $x + 2 = 9$.

Решим первое иррациональное уравнение $\sqrt{x+2} = 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

Поскольку правая часть уравнения ($3$) является неотрицательным числом, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат. Это преобразование является равносильным на ОДЗ.

$(\sqrt{x+2})^2 = 3^2$

$x + 2 = 9$

Мы получили второе уравнение из данной пары. Теперь найдем его корень:

$x = 9 - 2$

$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=7$ условию ОДЗ: $7 \ge -2$. Условие выполняется. Следовательно, $x=7$ является единственным корнем как первого, так и второго уравнения.

Так как одно уравнение получается из другого равносильным преобразованием, их множества решений совпадают.

Ответ: уравнения равносильны.