Номер 143, страница 59 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 143, страница 59.

Условие.

143 Решить неравенство:

1) $ \frac{x+3}{2+x^2} < 3; $

2) $ \frac{x-2}{5-x} > 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано неравенство:

$\frac{x+3}{2+x^2} < 3$

Сначала проанализируем знаменатель дроби $2+x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то выражение $2+x^2$ всегда будет больше или равно 2. Это означает, что знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю.

Так как знаменатель $2+x^2$ всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, сохранив знак неравенства:

$x+3 < 3(2+x^2)$

Теперь раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратичное неравенство:

$x+3 < 6 + 3x^2$

$0 < 3x^2 - x + 6 - 3$

$3x^2 - x + 3 > 0$

Чтобы решить это неравенство, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 - x + 3$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3>0$).

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, для чего решим уравнение $3x^2 - x + 3 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = -35$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox.

Следовательно, выражение $3x^2 - x + 3$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Таким образом, исходное неравенство справедливо для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2)

Дано неравенство:

$\frac{x-2}{5-x} > 1$

Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все члены в левую часть и приведем их к общему знаменателю:

$\frac{x-2}{5-x} - 1 > 0$

$\frac{x-2 - 1 \cdot (5-x)}{5-x} > 0$

$\frac{x-2 - 5 + x}{5-x} > 0$

$\frac{2x-7}{5-x} > 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем значения $x$, при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль:

1. Нуль числителя: $2x-7=0 \implies 2x=7 \implies x=3.5$.

2. Нуль знаменателя: $5-x=0 \implies x=5$. Это значение не входит в область допустимых значений (ОДЗ), так как знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x=5$ будет выколотой.

Отметим точки $3.5$ и $5$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 3.5)$, $(3.5; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{2x-7}{5-x}$ на каждом из этих интервалов:

• В интервале $(-\infty; 3.5)$, возьмем пробную точку $x=0$. Получаем: $\frac{2(0)-7}{5-0} = \frac{-7}{5} < 0$.
• В интервале $(3.5; 5)$, возьмем пробную точку $x=4$. Получаем: $\frac{2(4)-7}{5-4} = \frac{8-7}{1} = 1 > 0$.
• В интервале $(5; +\infty)$, возьмем пробную точку $x=6$. Получаем: $\frac{2(6)-7}{5-6} = \frac{12-7}{-1} = -5 < 0$.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение больше нуля. Согласно нашим вычислениям, это интервал $(3.5; 5)$.

Ответ: $x \in (3.5; 5)$.