Номер 137, страница 53 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 7. Взаимно обратные функции - номер 137, страница 53.

Условие.

137 На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них:

1) $y = 3x - 1;$

2) $y = \frac{2x - 1}{3};$

3) $y = x^2 - 1 \text{ при } x \ge 0;$

4) $y = (x - 1)^2 \text{ при } x \ge 1;$

5) $y = x^3 - 2;$

6) $y = (x - 1)^3;$

7) $y = \sqrt{x - 1};$

8) $y = \sqrt{x + 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 3x - 1$

Исходная функция: $f(x) = 3x - 1$.
Это линейная функция, её график — прямая. Она определена и принимает значения для любых действительных чисел.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Нахождение обратной функции:
1. В уравнении $y = 3x - 1$ меняем местами $x$ и $y$: $x = 3y - 1$.
2. Выражаем $y$ из этого уравнения: $3y = x + 1 \implies y = \frac{x+1}{3}$.
Итак, обратная функция $g(x) = \frac{x+1}{3}$.

Обратная функция: $g(x) = \frac{x+1}{3}$.
Область определения обратной функции $D(g)$ совпадает с множеством значений исходной функции $E(f)$: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений обратной функции $E(g)$ совпадает с областью определения исходной функции $D(f)$: $E(g) = (-\infty; +\infty)$.

Графики функций:
График $y=3x-1$ (синий) и обратной ей функции $y=\frac{x+1}{3}$ (красный) симметричны относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная).

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{x+1}{3}$. Для $y=3x-1$: $D(f)=(-\infty; +\infty)$, $E(f)=(-\infty; +\infty)$. Для $y=\frac{x+1}{3}$: $D(g)=(-\infty; +\infty)$, $E(g)=(-\infty; +\infty)$.

2) $y = \frac{2x-1}{3}$

Исходная функция: $f(x) = \frac{2x-1}{3}$.
Это также линейная функция. Её можно записать как $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Нахождение обратной функции:
1. Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{2y-1}{3}$.
2. Выражаем $y$: $3x = 2y - 1 \implies 2y = 3x + 1 \implies y = \frac{3x+1}{2}$.
Обратная функция: $g(x) = \frac{3x+1}{2}$.

Обратная функция: $g(x) = \frac{3x+1}{2}$.
Область определения: $D(g) = E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Графики функций:
Графики исходной функции (синий) и обратной (красный) являются прямыми, симметричными относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная).

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{3x+1}{2}$. Для $y=\frac{2x-1}{3}$: $D(f)=(-\infty; +\infty)$, $E(f)=(-\infty; +\infty)$. Для $y=\frac{3x+1}{2}$: $D(g)=(-\infty; +\infty)$, $E(g)=(-\infty; +\infty)$.

3) $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$

Исходная функция: $f(x) = x^2 - 1$ при $x \ge 0$.
Это правая ветвь параболы, смещенной на 1 вниз. Ограничение $x \ge 0$ делает функцию монотонной и, следовательно, обратимой.
Область определения задана: $D(f) = [0; +\infty)$.
Множество значений: так как $x \ge 0$, то $x^2 \ge 0$, и $x^2-1 \ge -1$. $E(f) = [-1; +\infty)$.

Нахождение обратной функции:
1. Меняем $x$ и $y$: $x = y^2 - 1$.
2. Выражаем $y$: $y^2 = x + 1 \implies y = \pm\sqrt{x+1}$.
Поскольку область определения исходной функции была $x \ge 0$, множество значений обратной функции должно быть $y \ge 0$. Поэтому выбираем знак "+".
Обратная функция: $g(x) = \sqrt{x+1}$.

Обратная функция: $g(x) = \sqrt{x+1}$.
Область определения: $D(g) = E(f) = [-1; +\infty)$. (Это также следует из условия $x+1 \ge 0$).
Множество значений: $E(g) = D(f) = [0; +\infty)$.

Графики функций:
График $y=x^2-1$ при $x \ge 0$ (синий) и обратной ей $y=\sqrt{x+1}$ (красный) симметричны относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt{x+1}$. Для $y=x^2-1, x \ge 0$: $D(f)=[0; +\infty)$, $E(f)=[-1; +\infty)$. Для $y=\sqrt{x+1}$: $D(g)=[-1; +\infty)$, $E(g)=[0; +\infty)$.

4) $y = (x-1)^2$ при $x \ge 1$

Исходная функция: $f(x) = (x-1)^2$ при $x \ge 1$.
Это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(1, 0)$.
Область определения задана: $D(f) = [1; +\infty)$.
Множество значений: так как $x \ge 1$, то $x-1 \ge 0$, и $(x-1)^2 \ge 0$. $E(f) = [0; +\infty)$.

Нахождение обратной функции:
1. Меняем $x$ и $y$: $x = (y-1)^2$.
2. Выражаем $y$: $\sqrt{x} = y-1$. Мы берем арифметический (неотрицательный) корень, так как для исходной функции $y \ge 1$, значит $y-1 \ge 0$.
3. $y = \sqrt{x} + 1$.
Обратная функция: $g(x) = \sqrt{x} + 1$.

Обратная функция: $g(x) = \sqrt{x} + 1$.
Область определения: $D(g) = E(f) = [0; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = [1; +\infty)$.

Графики функций:
График $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$ (синий) и обратной ей $y=\sqrt{x}+1$ (красный) симметричны относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt{x} + 1$. Для $y=(x-1)^2, x \ge 1$: $D(f)=[1; +\infty)$, $E(f)=[0; +\infty)$. Для $y=\sqrt{x}+1$: $D(g)=[0; +\infty)$, $E(g)=[1; +\infty)$.

5) $y = x^3 - 2$

Исходная функция: $f(x) = x^3 - 2$.
Это кубическая парабола, смещенная на 2 единицы вниз.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Нахождение обратной функции:
1. Меняем $x$ и $y$: $x = y^3 - 2$.
2. Выражаем $y$: $y^3 = x + 2 \implies y = \sqrt[3]{x+2}$.
Обратная функция: $g(x) = \sqrt[3]{x+2}$.

Обратная функция: $g(x) = \sqrt[3]{x+2}$.
Область определения: $D(g) = E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Графики функций:
График $y=x^3-2$ (синий) и обратной ей $y=\sqrt[3]{x+2}$ (красный) симметричны относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt[3]{x+2}$. Для обеих функций область определения и множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

6) $y = (x - 1)^3$

Исходная функция: $f(x) = (x-1)^3$.
Это кубическая парабола, смещенная на 1 единицу вправо.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Нахождение обратной функции:
1. Меняем $x$ и $y$: $x = (y-1)^3$.
2. Выражаем $y$: $\sqrt[3]{x} = y-1 \implies y = \sqrt[3]{x} + 1$.
Обратная функция: $g(x) = \sqrt[3]{x} + 1$.

Обратная функция: $g(x) = \sqrt[3]{x} + 1$.
Область определения: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = (-\infty; +\infty)$.

Графики функций:
График $y=(x-1)^3$ (синий) и обратной ей $y=\sqrt[3]{x}+1$ (красный) симметричны относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt[3]{x} + 1$. Для обеих функций область определения и множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

7) $y = \sqrt{x - 1}$

Исходная функция: $f(x) = \sqrt{x-1}$.
Это график функции квадратного корня, смещенный на 1 вправо.
Область определения: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. $D(f) = [1; +\infty)$.
Множество значений: $y \ge 0$. $E(f) = [0; +\infty)$.

Нахождение обратной функции:
1. Меняем $x$ и $y$: $x = \sqrt{y-1}$. Область определения этой новой зависимости (которая станет областью определения обратной функции) есть $x \ge 0$.
2. Возводим в квадрат: $x^2 = y-1$.
3. Выражаем $y$: $y = x^2 + 1$.
Обратная функция: $g(x) = x^2 + 1$.

Обратная функция: $g(x) = x^2 + 1$.
Область определения: $D(g) = E(f) = [0; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = [1; +\infty)$.

Графики функций:
График $y=\sqrt{x-1}$ (синий) и обратной ей $y=x^2+1$ при $x \ge 0$ (красный) симметричны относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = x^2 + 1$. Для $y=\sqrt{x-1}$: $D(f)=[1; +\infty)$, $E(f)=[0; +\infty)$. Для $y=x^2+1$: $D(g)=[0; +\infty)$, $E(g)=[1; +\infty)$.

8) $y = \sqrt{x} + 1$

Исходная функция: $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
Это график функции квадратного корня, смещенный на 1 вверх.
Область определения: $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.
Множество значений: $\sqrt{x} \ge 0 \implies \sqrt{x}+1 \ge 1$. $E(f) = [1; +\infty)$.

Нахождение обратной функции:
1. Меняем $x$ и $y$: $x = \sqrt{y} + 1$. Область определения этой зависимости $x \ge 1$.
2. Выражаем $\sqrt{y}$: $\sqrt{y} = x-1$.
3. Возводим в квадрат: $y = (x-1)^2$. Возведение в квадрат корректно, так как $x \ge 1 \implies x-1 \ge 0$.
Обратная функция: $g(x) = (x-1)^2$.

Обратная функция: $g(x) = (x-1)^2$.
Область определения: $D(g) = E(f) = [1; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = [0; +\infty)$.

Графики функций:
График $y=\sqrt{x}+1$ (синий) и обратной ей $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$ (красный) симметричны относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = (x-1)^2$. Для $y=\sqrt{x}+1$: $D(f)=[0; +\infty)$, $E(f)=[1; +\infty)$. Для $y=(x-1)^2$: $D(g)=[1; +\infty)$, $E(g)=[0; +\infty)$.