Номер 110, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 110, страница 37.

Условие.

110 Упростить выражение $a=(4-3\sqrt{2})^2+8\sqrt{34-24\sqrt{2}}-\sqrt{5}.

Сравнить полученное число с нулём.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Упростить выражение $a = (4-3\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{34-24\sqrt{2}} - \sqrt{5}$

Для упрощения данного выражения разобьем его на части и вычислим каждую из них последовательно.

1. Первое слагаемое представляет собой квадрат разности. Раскроем его по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(4-3\sqrt{2})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 16 - 24\sqrt{2} + 9 \cdot 2 = 16 - 24\sqrt{2} + 18 = 34 - 24\sqrt{2}$.

2. Второе слагаемое — $8\sqrt{34-24\sqrt{2}}$. Мы видим, что выражение под корнем, $34-24\sqrt{2}$, равно результату, который мы получили в первом шаге. Это позволяет нам упростить корень:
$\sqrt{34-24\sqrt{2}} = \sqrt{(4-3\sqrt{2})^2}$.
По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(4-3\sqrt{2})^2} = |4-3\sqrt{2}|$.
Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $4-3\sqrt{2}$. Для этого сравним числа $4$ и $3\sqrt{2}$, возведя их в квадрат:
$4^2 = 16$
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$
Поскольку $16 < 18$, то $4 < 3\sqrt{2}$. Это означает, что разность $4 - 3\sqrt{2}$ является отрицательным числом.
Следовательно, по определению модуля: $|4-3\sqrt{2}| = -(4-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4$.
Теперь мы можем вычислить значение второго слагаемого:
$8\sqrt{34-24\sqrt{2}} = 8 \cdot (3\sqrt{2} - 4) = 24\sqrt{2} - 32$.

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение для $a$:
$a = (34 - 24\sqrt{2}) + (24\sqrt{2} - 32) - \sqrt{5}$.
Слагаемые $-24\sqrt{2}$ и $24\sqrt{2}$ взаимно уничтожаются. Выполним оставшиеся действия:
$a = 34 - 32 - \sqrt{5} = 2 - \sqrt{5}$.

Ответ: $a = 2 - \sqrt{5}$.

Сравнить полученное число с нулём

Мы получили, что $a = 2 - \sqrt{5}$. Теперь необходимо сравнить это число с нулем, то есть определить его знак.

Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат:
$2^2 = 4$
$(\sqrt{5})^2 = 5$
Так как $4 < 5$, это означает, что $2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $2 - \sqrt{5}$ отрицательна: $2 - \sqrt{5} < 0$.

Ответ: полученное число меньше нуля, то есть $a < 0$.