Номер 107, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 107, страница 37.

Условие.

107 Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

1) $1,10(209)$;

2) $0,108(32)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) 1,10(209)

Чтобы преобразовать смешанную периодическую дробь в обыкновенную, нужно выполнить следующие действия.

Пусть $x = 1,10(209)$. Это означает $x = 1,10209209209...$

Сначала умножим число $x$ на $10^2 = 100$, чтобы сдвинуть непериодическую часть (препериод "10") влево от десятичной запятой.
$100x = 110,209209209...$

Затем умножим число $x$ на $10^5 = 100000$, чтобы сдвинуть влево от запятой и препериод, и один период ("209"). Количество цифр в препериоде (2) и периоде (3) в сумме дает 5.
$100000x = 110209,209209209...$

Теперь вычтем первое полученное уравнение из второго. Это позволит нам избавиться от бесконечной периодической части.
$100000x - 100x = 110209,209209... - 110,209209...$
$99900x = 110099$

Остается найти $x$, решив полученное уравнение:
$x = \frac{110099}{99900}$

Эту неправильную дробь можно оставить в таком виде или представить в виде смешанного числа: $1\frac{10199}{99900}$. Дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{110099}{99900}$

2) 0,108(32)

Преобразуем вторую дробь, используя тот же алгоритм.

Пусть $x = 0,108(32)$. Это означает $x = 0,108323232...$

Препериод "108" состоит из 3 цифр. Умножим $x$ на $10^3 = 1000$:
$1000x = 108,323232...$

Период "32" состоит из 2 цифр. Общее число цифр в препериоде и периоде равно $3+2=5$. Умножим $x$ на $10^5 = 100000$:
$100000x = 10832,323232...$

Вычтем из второго уравнения первое:
$100000x - 1000x = 10832,323232... - 108,323232...$
$99000x = 10724$

Найдем $x$:
$x = \frac{10724}{99000}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, являются четными. Мы можем разделить их на 4.
$x = \frac{10724 \div 4}{99000 \div 4} = \frac{2681}{24750}$

Дальнейшее сокращение невозможно, так как у числителя 2681 и знаменателя 24750 нет общих делителей.

Ответ: $\frac{2681}{24750}$