Номер 108, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 108, страница 37.

Условие.

108 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин равна $\frac{13}{27}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Из условия задачи следует, что все члены прогрессии положительны и она является убывающей, поэтому $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$.

Сумма первых трёх членов прогрессии равна 39. Это можно записать в виде уравнения: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 39$. Вынесем $b_1$ за скобку: $b_1(1 + q + q^2) = 39 \quad (1)$

Сумма обратных величин первых трёх членов равна $\frac{13}{27}$. Запишем второе уравнение: $\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \frac{1}{b_3} = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1q} + \frac{1}{b_1q^2} = \frac{13}{27}$. Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $b_1q^2$: $\frac{q^2 + q + 1}{b_1q^2} = \frac{13}{27} \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$: $$ \begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 39 \\ \frac{1 + q + q^2}{b_1q^2} = \frac{13}{27} \end{cases} $$

Из уравнения (1) выразим сумму $(1 + q + q^2) = \frac{39}{b_1}$ и подставим это выражение в уравнение (2): $$ \frac{\frac{39}{b_1}}{b_1q^2} = \frac{13}{27} $$ $$ \frac{39}{b_1^2q^2} = \frac{13}{27} $$

Теперь выразим из этого уравнения произведение $b_1^2q^2$: $$ b_1^2q^2 = \frac{39 \cdot 27}{13} = 3 \cdot 27 = 81 $$ Так как $b_1 > 0$ и $q > 0$, то $b_1q > 0$. Можем извлечь квадратный корень: $$ b_1q = \sqrt{81} = 9 $$ Отсюда выразим $b_1$ через $q$: $$ b_1 = \frac{9}{q} $$

Подставим полученное выражение для $b_1$ в уравнение (1): $$ \frac{9}{q}(1 + q + q^2) = 39 $$ Разделим обе части уравнения на 3: $$ \frac{3}{q}(1 + q + q^2) = 13 $$ Умножим обе части на $q$ (так как $q \neq 0$): $$ 3(1 + q + q^2) = 13q $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение: $$ 3 + 3q + 3q^2 = 13q $$ $$ 3q^2 - 10q + 3 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 $$ $$ \sqrt{D} = 8 $$ Найдем корни уравнения: $$ q_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $$ $$ q_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Согласно условию, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, что означает, что модуль ее знаменателя должен быть меньше единицы: $|q| < 1$. Корень $q_1 = 3$ не удовлетворяет этому условию. Корень $q_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию ($0 < \frac{1}{3} < 1$). Следовательно, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$: $$ b_1 = \frac{9}{q} = \frac{9}{1/3} = 27 $$

Наконец, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $$ S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5 $$

Ответ: 40,5.