Номер 109, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 109, страница 37.

Условие.

109 Упростить выражение $\sqrt{43+30\sqrt{2}}+\sqrt{43-30\sqrt{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим данное выражение переменной $A$:

$A = \sqrt{43+30\sqrt{2}} + \sqrt{43-30\sqrt{2}}$

Поскольку подкоренные выражения $43+30\sqrt{2}$ и $43-30\sqrt{2}$ положительны (так как $43^2 = 1849$ и $(30\sqrt{2})^2 = 1800$, то $1849 > 1800$), оба слагаемых в выражении являются положительными действительными числами. Следовательно, их сумма $A$ также положительна, то есть $A > 0$.

Возведём обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от внешних корней:

$A^2 = \left(\sqrt{43+30\sqrt{2}} + \sqrt{43-30\sqrt{2}}\right)^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{43+30\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt{43-30\sqrt{2}}$, получаем:

$A^2 = \left(\sqrt{43+30\sqrt{2}}\right)^2 + 2\cdot\sqrt{43+30\sqrt{2}}\cdot\sqrt{43-30\sqrt{2}} + \left(\sqrt{43-30\sqrt{2}}\right)^2$

Теперь упростим каждый член выражения:

Первый член: $\left(\sqrt{43+30\sqrt{2}}\right)^2 = 43+30\sqrt{2}$

Третий член: $\left(\sqrt{43-30\sqrt{2}}\right)^2 = 43-30\sqrt{2}$

Для среднего члена используем свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ и формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$2\sqrt{43+30\sqrt{2}}\cdot\sqrt{43-30\sqrt{2}} = 2\sqrt{(43+30\sqrt{2})(43-30\sqrt{2})}$

$= 2\sqrt{43^2 - (30\sqrt{2})^2}$

Вычислим значения под корнем:

$43^2 = 1849$

$(30\sqrt{2})^2 = 30^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 900 \cdot 2 = 1800$

Подставим эти значения обратно:

$2\sqrt{1849 - 1800} = 2\sqrt{49} = 2 \cdot 7 = 14$

Теперь сложим все упрощенные части, чтобы найти $A^2$:

$A^2 = (43+30\sqrt{2}) + 14 + (43-30\sqrt{2})$

$A^2 = 43 + 14 + 43 + 30\sqrt{2} - 30\sqrt{2}$

$A^2 = 86 + 14 = 100$

Итак, мы получили уравнение $A^2 = 100$. Поскольку мы установили, что $A > 0$, решением является положительный корень из 100.

$A = \sqrt{100} = 10$

Ответ: 10