Номер 105, страница 36 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 105, страница 36.

Условие.

105 Упростить:

1) $ \frac{ab^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1} $

2) $ \frac{b}{a - b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное выражение: $ \frac{ab^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1} $.

Сначала вынесем общий множитель $b^{\frac{1}{2}}$ в числителе:

$ ab^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = a \cdot b^1 \cdot b^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{2}}(ab - 1) $.

Теперь выражение принимает вид:

$ \frac{b^{\frac{1}{2}}(ab - 1)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1} $.

Разложим выражение $(ab - 1)$ в числителе по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = (ab)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$ и $y = 1$:

$ ab - 1 = (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1) $.

Подставим разложенное выражение обратно в дробь:

$ \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1} $.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $ab \neq 1$):

$ b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1) $.

Раскроем скобки, чтобы получить окончательный ответ:

$ b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = a^{\frac{1}{2}}b^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b + b^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{2}}b + b^{\frac{1}{2}} $.

2)

Исходное выражение: $ \frac{b}{a-b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель первой дроби $(a-b)$ по формуле разности квадратов:

$ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{b}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

Общий знаменатель для этих дробей — $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$:

$ \frac{b}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} + \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $.

Сложим дроби, объединив их числители:

$ \frac{b + b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} $.

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$ b + b^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = b + (ab)^{\frac{1}{2}} - b = (ab)^{\frac{1}{2}} $.

Знаменатель равен $a-b$. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(ab)^{\frac{1}{2}}}{a-b} $.

Ответ: $ \frac{(ab)^{\frac{1}{2}}}{a-b} $.