Номер 103, страница 36 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 103, страница 36.

Условие.

103 Решить уравнение:

1) $6^{2x} = 6^{\frac{1}{5}};$

2) $3^x = 27;$

3) $7^{3x} = 7^{10};$

4) $2^{2x+1} = 32;$

5) $4^{2+x} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) В уравнении $6^{2x} = 6^{\frac{1}{5}}$ основания степеней в левой и правой частях равны (равны 6). Следовательно, мы можем приравнять их показатели:
$2x = \frac{1}{5}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{1}{5} \div 2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$
Ответ: $x = \frac{1}{10}$.

2) В уравнении $3^x = 27$ представим число 27 в виде степени с основанием 3.
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
Теперь уравнение выглядит так:
$3^x = 3^3$
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

3) В уравнении $7^{3x} = 7^{10}$ основания степеней в обеих частях равны (равны 7). Значит, мы можем приравнять показатели:
$3x = 10$
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{10}{3}$
Ответ: $x = \frac{10}{3}$.

4) В уравнении $2^{2x+1} = 32$ представим число 32 в виде степени с основанием 2.
$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$
Подставим это значение в уравнение:
$2^{2x+1} = 2^5$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$2x+1 = 5$
Вычтем 1 из обеих частей:
$2x = 4$
Разделим обе части на 2:
$x = 2$
Ответ: $x = 2$.

5) В уравнении $4^{2+x} = 1$ нам нужно представить 1 как степень с основанием 4. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 4^0$.
Уравнение принимает вид:
$4^{2+x} = 4^0$
Основания степеней равны, значит, показатели тоже равны:
$2+x = 0$
Вычтем 2 из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.