Номер 104, страница 36 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 104, страница 36.

Условие.

104 Сократить дробь:

1) $ \frac{y - 16y^{\frac{1}{2}}}{5y^{\frac{1}{4}} + 20} $;

2) $ \frac{a^{\frac{4}{5}} - b^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{y-16y^{\frac{1}{2}}}{5y^{\frac{1}{4}} + 20}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель $y-16y^{\frac{1}{2}}$. Вынесем за скобки общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$:

$y - 16y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}(y^{1-\frac{1}{2}} - 16) = y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 16)$.

Выражение в скобках $y^{\frac{1}{2}} - 16$ можно представить в виде разности квадратов, так как $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2$ и $16 = 4^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y^{\frac{1}{2}} - 16 = (y^{\frac{1}{4}})^2 - 4^2 = (y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Таким образом, числитель полностью разложен на множители: $y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Теперь преобразуем знаменатель $5y^{\frac{1}{4}} + 20$. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5y^{\frac{1}{4}} + 20 = 5(y^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} + 4)}{5(y^{\frac{1}{4}} + 4)}$

Сократим общий множитель $(y^{\frac{1}{4}} + 4)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $y \ge 0$, при котором $y^{\frac{1}{4}} + 4 > 0$.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)}{5}$

Ответ: $\frac{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}}-4)}{5}$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^{\frac{4}{5}} - b^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}}$, разложим числитель на множители.

Числитель $a^{\frac{4}{5}} - b^{\frac{4}{5}}$ является разностью квадратов, поскольку $a^{\frac{4}{5}} = (a^{\frac{2}{5}})^2$ и $b^{\frac{4}{5}} = (b^{\frac{2}{5}})^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a^{\frac{2}{5}}$ и $y=b^{\frac{2}{5}}$:

$a^{\frac{4}{5}} - b^{\frac{4}{5}} = (a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}})(a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}})$.

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$\frac{(a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}})(a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}})}{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a^{\frac{2}{5}} \neq b^{\frac{2}{5}}$).

В результате получаем: $a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}}$