Номер 97, страница 36 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 97, страница 36.

Условие.

97 1) $\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt[3]{2\frac{1}{4}};$

2) $\sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{6\frac{3}{4}};$

3) $\sqrt[4]{15\frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}};$

4) $\sqrt[3]{11\frac{1}{4}} : \sqrt[3]{3\frac{1}{3}};$

5) $(\sqrt[3]{\sqrt{27}})^2;$

6) $(\sqrt[3]{\sqrt{16}})^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для решения примера $\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt[3]{2\frac{1}{4}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Теперь используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. Получаем: $\sqrt[3]{\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 4}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}$. Извлекая кубический корень из числителя и знаменателя, имеем $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

2)

В примере $\sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{6\frac{3}{4}}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$. Применим свойство произведения корней: $\sqrt[4]{\frac{3}{4} \cdot \frac{27}{4}} = \sqrt[4]{\frac{3 \cdot 27}{4 \cdot 4}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}}$. Извлекая корень четвертой степени, получаем $\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2}$, так как $3^4 = 81$ и $2^4 = 16$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

3)

В выражении $\sqrt[4]{15\frac{5}{8}} \div \sqrt[4]{\frac{2}{5}}$ переведем смешанное число в неправильную дробь: $15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{125}{8}$. Теперь используем свойство частного корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \div \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Получаем: $\sqrt[4]{\frac{125}{8} \div \frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{125 \cdot 5}{8 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{625}{16}}$. Извлекая корень четвертой степени из числителя и знаменателя, имеем $\frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{5}{2}$, так как $5^4 = 625$ и $2^4 = 16$.

Ответ: $\frac{5}{2}$.

4)

Для решения примера $\sqrt[3]{11\frac{1}{4}} \div \sqrt[3]{3\frac{1}{3}}$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $11\frac{1}{4} = \frac{11 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{45}{4}$ и $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$. Применим свойство частного корней: $\sqrt[3]{\frac{45}{4} \div \frac{10}{3}} = \sqrt[3]{\frac{45}{4} \cdot \frac{3}{10}}$. Сократим дробь под корнем: $\frac{45 \cdot 3}{4 \cdot 10} = \frac{9 \cdot 5 \cdot 3}{4 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{27}{8}$. Получаем $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

5)

Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{\sqrt{27}})^2$. Воспользуемся свойством возведения корня в степень $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$, внеся степень под знак внешнего корня: $\sqrt[3]{(\sqrt{27})^2}$. Так как $(\sqrt{a})^2 = a$, то $(\sqrt{27})^2 = 27$. Выражение упрощается до $\sqrt[3]{27}$. Кубический корень из 27 равен 3.
Альтернативный способ: используем свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$. Тогда $\sqrt[3]{\sqrt{27}} = \sqrt[3 \cdot 2]{27} = \sqrt[6]{27}$. Возводим в квадрат: $(\sqrt[6]{27})^2 = \sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.

Ответ: $3$.

6)

Рассмотрим выражение $(\sqrt{\sqrt[3]{16}})^3$. Внесем степень под знак внешнего корня, используя свойство $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$: $\sqrt{(\sqrt[3]{16})^3}$. Так как $(\sqrt[n]{a})^n = a$, то $(\sqrt[3]{16})^3 = 16$. Выражение упрощается до $\sqrt{16}$. Квадратный корень из 16 равен 4.
Альтернативный способ: используем свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$. Тогда $\sqrt{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[2 \cdot 3]{16} = \sqrt[6]{16}$. Возводим в куб: $(\sqrt[6]{16})^3 = \sqrt[6]{16^3} = \sqrt[6]{(2^4)^3} = \sqrt[6]{2^{12}} = 2^{12/6} = 2^2 = 4$.

Ответ: $4$.