Номер 93, страница 35 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 93, страница 35.

Условие.

93 Представить в виде обыкновенной дроби:

1) $1,3(1)$; 2) $2,3(2)$; 3) $0,(248)$; 4) $0,(34)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы представить периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, можно использовать следующий алгоритм:

1. Обозначить данное число переменной, например, $x$.
2. Умножить полученное уравнение на $10^k$, где $k$ — количество цифр до периода, чтобы получить число, у которого период начинается сразу после запятой.
3. Умножить исходное уравнение на $10^{k+m}$, где $m$ — количество цифр в периоде, чтобы сдвинуть один период влево.
4. Вычесть из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части.
5. Решить полученное уравнение относительно $x$.

Для чистых периодических дробей (когда период начинается сразу после запятой) шаг 2 пропускается, а на шаге 3 уравнение умножается на $10^m$.

1) 1,3(1)

Это смешанная периодическая дробь. Обозначим данное число через $x$.

$x = 1,3111...$

В этом числе одна цифра до периода (3) и одна цифра в периоде (1).

Умножим уравнение на 10, чтобы часть до периода оказалась слева от запятой:

$10x = 13,111...$

Умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть один период влево:

$100x = 131,111...$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы устранить бесконечную дробную часть:

$100x - 10x = 131,111... - 13,111...$

$90x = 118$

Находим $x$:

$x = \frac{118}{90}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{59}{45}$

Ответ: $\frac{59}{45}$

2) 2,3(2)

Это смешанная периодическая дробь. Обозначим число через $x$.

$x = 2,3222...$

Здесь одна цифра до периода (3) и одна цифра в периоде (2).

Умножим на 10:

$10x = 23,222...$

Умножим на 100:

$100x = 232,222...$

Вычтем первое уравнение из второго:

$100x - 10x = 232,222... - 23,222...$

$90x = 209$

Находим $x$:

$x = \frac{209}{90}$

Дробь несократимая, так как у числителя (209 = 11 · 19) и знаменателя (90 = 2 · 3² · 5) нет общих делителей.

Ответ: $\frac{209}{90}$

3) 0,(248)

Это чистая периодическая дробь. Обозначим число через $x$.

$x = 0,248248...$

Период состоит из трех цифр (248). Умножим уравнение на $10^3=1000$:

$1000x = 248,248248...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$1000x - x = 248,248248... - 0,248248...$

$999x = 248$

Находим $x$:

$x = \frac{248}{999}$

Дробь несократимая, так как у числителя (248 = 8 · 31) и знаменателя (999 = 27 · 37) нет общих делителей.

Ответ: $\frac{248}{999}$

4) 0,(34)

Это чистая периодическая дробь. Обозначим число через $x$.

$x = 0,3434...$

Период состоит из двух цифр (34). Умножим уравнение на $10^2=100$:

$100x = 34,3434...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 34,3434... - 0,3434...$

$99x = 34$

Находим $x$:

$x = \frac{34}{99}$

Дробь несократимая, так как у числителя (34 = 2 · 17) и знаменателя (99 = 9 · 11) нет общих делителей.

Ответ: $\frac{34}{99}$